Найдите множество значений функции: $$ \\ y=\sqrt{x^2+5x+4}-x $$

задан 8 Июл '14 12:59

изменен 8 Июл '14 13:55

falcao's gravatar image


190k1632

10|600 символов нужно символов осталось
0

Поскольку $%x^2+5x+4=(x+4)(x+1)$%, можно по отдельности рассмотреть поведение функции $%y(x)$% на промежутках $%x\in(-\infty;-4]$% и $%x\in[-1;+\infty)$%.

Заметим, что при $%x\le-4$% функция $%x^2+5x+4$% убывает. Значит, это же верно насчёт функции $%y(x)$%. Ясно, что $%y(-4)=4$%. Кроме того, $%y(x)\ge-x$%, то есть при $%x\to-\infty$% функция стремится к $%+\infty$%. Из этого следует, что на $%x\in(-\infty;-4]$% множеством значений функции будет $%y\in[4;+\infty)$%.

Теперь пусть $%x\ge-1$%. Чтобы понять, как функция ведёт себя на бесконечности, домножим и разделим её на число $%\sqrt{x^2+5x+4}+x\ne0$%, что заведомо имеет место при $%x\ge0$%. Получится $%y(x)=\frac{5x+4}{\sqrt{x^2+5x+4}+x}=\frac{5+4x^{-1}}{\sqrt{1+5x^{-1}+4x^{-2}}+1}\to\frac52$% при $%x\to+\infty$%. Осталось заметить, что $%y(-1)=1$%, и функция возрастает на рассматриваемом промежутке за счёт того, что $%y'(x)=\frac{2x+5}{2\sqrt{x^2+5x+4}}-1 > 0$% при всех $%x > -1$%. Последнее вытекает из неравенства $%2x+5 > 2\sqrt{x^2+5x+4}$%, которое проверяется при помощи возведения в квадрат. Заметим также, что в точке $%x=-1$% производная функции равна $%+\infty$%.

Таким образом, на $%x\in[-1;+\infty)$% множеством значений функции будет $%y\in[1;\frac52)$%, а на всей области определения получится $%y\in[1;\frac52)\cup[4;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 8 Июл '14 13:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787

задан
8 Июл '14 12:59

показан
340 раз

обновлен
8 Июл '14 14:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru