|
"Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств x^2-6x+10<=a и x^2-8x+7+3a<=0 содержат только одно целое число. " задан 8 Июл '14 22:12 
Doctrina
показано 5 из 11
показать еще 6
|
|
Я бы тоже решала систему. Но формулировка настолько "кривая", что трудно возражать, ибо с точки зрения русского языка можно подразумевать, что решения "свалили в кучу" (одно на всех, общее) - получили значения, которые являются решением либо одного, либо второго неравенства, либо обоих. Однако, при желании можно привести доводы и в пользу системы. отвечен 8 Июл '14 22:22 
cartesius Самое интересное, что разночтения обусловлены уже на уровне русского языка, так как общий - 1. совместный, принадлежащий или свойственный многим, относящийся к нескольким объектам 2. целый, совокупный, суммарный.
(8 Июл '14 23:24)
Doctrina
|
|
Запишем неравенства в виде $%(x-3)^2\le a-1$% и $%(x-4)^2\le9-3a$%. Чтобы система имела решения, необходимо $%a\in[1;3]$%. Число 3 будет общим решением при $%x\in[1;\frac83]$%, число 4 при $%x\in[2;3]$%. Если общее целочисленное решение ровно одно, это может быть только 3 или 4: если бы подошло число $%x > 4$%, то подошло бы и 4, а если подходит $%x < 3$%, то подходит и 3. Поэтому ответом будет симметрическая разность двух множеств, и это $%a\in[1;2)\cup(\frac83;3]$%. Для версии с совокупностью вместо системы: если $%a > 3$%, то первое неравенство имеет более одного решения в $%{\mathbb Z}$%. При $%a < 1$% второе неравенство имеет много решений. Если $%a\in[1;3]$%, то оба числа 3 и 4 -- решения совокупности. Значит, никакое $%a$% не подходит, и такой вариант трактовки не выглядит интересным. отвечен 9 Июл '14 1:33 
falcao |
|
Проще всего решается графически если оба неравенства начертить на плоскости XOA. Получится что-то вроде этого:
Из рисунка видно что среди общих решений неравенств есть два целых числа: 3 и 4. Для того чтобы среди общих решений неравенств было только одно целое число нужно найти такие значения параметра при которых среди общих решений будет либо 3 либо 4. Это возможно лишь когда $%a \in [1;2) \cup (\frac{8}{3};3]$% отвечен 9 Июл '14 4:31 
night-raven |
Я считаю, что с чисто языковой точки зрения оборот "общие решения" должен означать решения как одного, так и другого неравенства, то есть решения системы. Это точно так же, как есть понятие общего делителя. Если кто-то имел в виду решения совокупности, то следовало выразить мысль при помощи другого словесного оборота.
P.S. Каков, кстати, авторский ответ? Тогда стало бы понятно, что имелось в виду.
Думаю, с языковой точки зрения такой оборот вообще не должен иметь право на существование. ( Т.к. интерпретировать можно в любую сторону.) Для явного обозначения того, что решается система, нужно приводить более точные формулировки.
@cartesius: я согласен, что такой оборот может сбить с толку, но вообще-то он по своему характеру мало чем отличается от понятия общего делителя двух чисел. Думаю, мало кому пришло бы в голову считать общими делителями чисел 4 и 6 такие числа как 1,2,3,4,6, и НОД полагать равным 6. Для такого случая можно было бы говорить разве что о "совокупных делителях" -- тогда смысл именно такой.
@falcao, для формализации понятия общего делителя вводится определение. А аналогии часто бывают обманчивы. В данном случае, если захочется, обосновать можно обе позиции. Я тоже придерживаюсь мнения, что решаться должна система, но доказать, что это точно не совокупность, я не могу. В конце концов, если решение от авторов и авторы считают, что это совокупность, то спорить бесполезно. Опровергнуть нельзя ни один из доводов.
Авторский ответ в данном случае ни о чем не говорит, так как "лишние" числа отметаются в ходе решения, но автор их рассматривает, то есть явно подразумевает совокупность. Но мне все же кажется, что это его личный просчет и ориентироваться на это не стоит.
@Doctrina: почему не говорит? Ведь если имелось в виду единственное целочисленное решение совокупности неравенств, а не системы, то таких $%a$% вообще не существует. А если ответ типа $%a\in[1;2)\cup(\frac83;3]$%, то имелась в виду система.
@falcao, почему отсутствуют? Скорее всего, я что-то не так понимаю, вот решение http://alexlarin.net/param/p8.html Я подумала, что если бы автор имел ввиду систему, случаи 1 и 2 даже не рассматривались.
@Doctrina: я не читал решение, но там точно имеется в виду система, судя по ответу. Вообще, там решение какое-то невероятно длинное и сложное -- можно решить совсем просто (у меня на черновике всего пару строк заняли вычисления). Если хотите, могу изложить. Заодно могу разобрать и вопрос с совокупностью -- чисто ради любопытства. Он почти так же решается.
@falcao, давайте, особенно насчет совокупности, у меня почему-то получается ответ там такой же.
@falcao, @Doctrina. Мне кажется толкование термина "ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ" не заслуживает такого широкого обсуждения и является вполне определенным: это пересечение множеств двух других решений. Представим, что мужчина (вдовец) А имеет троих детей женится на разведенной женщине В, у которой двое детей. В браке они родили четверых детей. В итоге у мужчины собственных детей 7, у женщины - 6. ОБЩИХ детей у них четверо. Никакого двойного толкования термина ОБЩИЕ здесь нет. Так же обстоит дело в наших двух неравенствах.
@nynko, обсуждать здесь действительно особо нечего, но я все же не могу взять в толк, зачем в этой задаче автор рассматривает отдельно случаи a<1 и a>3. Если у мужчины (одного из уравнений) нет детей (решений), то о каких общих детях говорит автор?