Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые а и b параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых а и b касается обеих сфер, а расстоянием между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми а и b.

Как я поняла, расстояние и есть диаметр, концы которого в точках касания. И вроде бы для поиска угла нужен парал. перенос, но как посчитать сам угол?

задан 10 Июл '14 17:26

изменен 11 Июл '14 12:22

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Проведём сечение через точку $%P$% касания прямой с меньшей сферой. Оно пересечёт большую из сфер по окружности радиуса $%2\sqrt2$%. Если вторую прямую параллельно перенести в эту же плоскость, то получатся две касательные к окружности. Расстояние от точки $%P$% до центра окружности равно 4. Из этого следует, что угол будет прямым.

ссылка

отвечен 10 Июл '14 18:47

Сечение вроде бы задается тремя точками?

(10 Июл '14 19:07) Doctrina

@Doctrina: имелась в виду плоскость, перпендикулярная диаметру, один из концов которого равен $%P$%. Поскольку у Вас в условии было про это сказано, я не стал подробно расписывать.

(10 Июл '14 23:47) falcao

Но ведь прямая а (допустим, это она) по условию касается обоих сфер, разве плоскость проходящая через а касательно к малой сфере, не будет касательна к большой? Почему она пересечет большую сферу и почему по окружности такого радиуса?

(11 Июл '14 0:00) Doctrina
1

В условии дано, что некоторой плоскости $%\alpha$%, проходящей через центры сфер, параллельны как a, так и b. Пусть P и Q -- верхняя и нижняя точки маленькой сферы по отношению к $%\alpha$%. Если бы прямые касались маленькой сферы не в этих точках, то расстояние между ними было бы меньше диаметра. Теперь через $%P$% проводим плоскость $%\beta$% параллельно $%\alpha$% на расстоянии d=1. Радиус $%2\sqrt2$% получается из теоремы Пифагора. Вершины прямоугольного треугольника -- это центр большой сферы, центр окружности сечения, и произвольная точка на окружности. Гипотенуза=3, катет равен d=1.

(11 Июл '14 2:34) falcao

Почти все понятно, но почему расстояние от Р до центра окружности равно расстоянию между центрами сфер?

(11 Июл '14 10:52) Doctrina

@Doctrina: точка $%P$% проектируется в центр меньшей сферы (по построению), а центр окружности -- в центр большей сферы. Поэтому расстояния равны.

(11 Июл '14 10:59) falcao

Поняла, я не там рисовала точку Р. О1Р=1 и пер-но плоскости альфа, а РО1О2О3 - это прямоугольник?

(11 Июл '14 12:33) Doctrina

Да, там при проектировании именно прямоугольник и возникает.

(11 Июл '14 22:04) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×521

задан
10 Июл '14 17:26

показан
1118 раз

обновлен
11 Июл '14 22:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru