|
Найдите наименьшее значение выражения $$(a^2+1)^{1/2}+(b^2+9)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2},$$ если известно, что $%a+b+c=12$%. задан 10 Июл '14 20:04 
themamiem |
|
Здесь можно воспользоваться неравенством Минковского $$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+w^2}\geqslant \sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}.$$ Причем равенство достигается, когда $%xw=yz$%. Откуда $$(a^2+1)^{1/2}+(b^2+9)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2}\geqslant ((a+b)^2+4^2)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2}\geqslant$$ $$\geqslant ((a+b+c)^2+9^2)^{1/2}=15$$Тогда получим, что данное выражение не меньше $%15$%. Это значение достигается при одновременном выполнении условий $%3a=b$% и $%5(a+b)=4c$%, т.е. при $%a=4/3,b=4,c=20/3$%. отвечен 10 Июл '14 21:03 
cartesius |