Найдите наименьшее значение выражения $$(a^2+1)^{1/2}+(b^2+9)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2},$$ если известно, что $%a+b+c=12$%.

задан 10 Июл '14 20:04

изменен 10 Июл '14 20:23

cartesius's gravatar image


9.6k212

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно воспользоваться неравенством Минковского $$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+w^2}\geqslant \sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}.$$ Причем равенство достигается, когда $%xw=yz$%. Откуда $$(a^2+1)^{1/2}+(b^2+9)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2}\geqslant ((a+b)^2+4^2)^{1/2}+(c^2+25)^{1/2}\geqslant$$ $$\geqslant ((a+b+c)^2+9^2)^{1/2}=15$$Тогда получим, что данное выражение не меньше $%15$%.

Это значение достигается при одновременном выполнении условий $%3a=b$% и $%5(a+b)=4c$%, т.е. при $%a=4/3,b=4,c=20/3$%.

ссылка

отвечен 10 Июл '14 21:03

изменен 10 Июл '14 21:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38
×31

задан
10 Июл '14 20:04

показан
351 раз

обновлен
10 Июл '14 21:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru