Найдите наименьшее значение выражения $%2x+y$%, заданного на множестве, заданном условием $%3|x-y|+|2x-5|=x+1$%

задан 10 Июл '14 21:40

изменен 11 Июл '14 12:24

Deleted's gravatar image


126

@themamiem. Есть довольно простой графический способ решения такого рода задач. Строим в плоскости (x;y)множество, заданное уравнением 3|x-y|+|2x-5|=x+1. Достаточно подставить в уравнение x=y и x=2.5. Полезно отметить координаты вершин прямоугольника.

Далее, 2x+y=z. Нам требуется найти наименьшее значение Z. при котором прямая y=-2x+я имеет общую точку с прямоугольником. Проверяем вершины прямоугольника и убеждаемся, что решением является z=4.

Причем значений пар(xy) окажется бесконечно много (все пары, принадлежащие одной стороне четырехугольника).

(10 Июл '14 23:31) nynko

@nynko, извините, а можно поподробнее о построении множества? Изобразить прямые y=x, x=5/2, а дальше?

(10 Июл '14 23:37) Doctrina
1

@nynko: там получается не прямоугольник, а 4-угольник. Минимум достигается вроде бы только в точке x=y=4/3. По-моему, стороны при этом не получается.

@Doctrina: равенства y=x, x=5/2, рассматриваемые как вспомогательные, помогают быстро найти координаты вершин 4-угольника. Если подставить x=y в основное уравнение, то получается |2x-5|=x+1, откуда x=6 или x=4/3. Это даёт две точки. А если подставить x=5/2, этому будут соответствовать y=4/3 и y=11/3.

(11 Июл '14 2:21) falcao

@falcao, а множество решений - это стороны 4-ка?

(11 Июл '14 12:48) Doctrina
1

@Doctrina,Отвечаю на Ваш вопрос, как построить множество. Как верно заметил @falcao, это будет четырехугольник (у меня опечатка). Он также прав насчет единственной точки x=y=4/3. Рассуждаем так: 3|x-y|+|2x-5|=x+1- это кусочно-линейное уравнение, графиком которого является ломаная ( в нашем случае она замкнутая). Первым делом находим "точки изломов графика". График "ломается" в тех точках, где выражения внутри модулей равно нулю (при х=у и при х=5/2). Если х=у, то решив уравнение, получим у=6 или у=4/3. Значит, имеем две точки (6;6) и (4/3;4/3). Если х-5/2, то у=11/3 или у=4/3. Имеем две точки

(11 Июл '14 13:36) nynko

@nynko, все понятно, спасибо большое!

(11 Июл '14 13:42) Doctrina
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Аналитические решение:

Положим $%2x + y = a$%. Новое условие задачи звучит так: Найти наименьшее значение параметра $%a$%, при котором уравнение $%3\left| {3x - a} \right| + \left| {2x - 5} \right| = x + 1$% имеет решения.

$% \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} 3x - a \geqslant 0 \\ 2x - 5 \geqslant 0 \\ 10x=3a+6 \end{gathered} \right. \\ \left\{\begin{gathered} 3x - a \geqslant 0 \\ 2x - 5 < 0 \\ 6x=3a-4 \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} 3x - a < 0 \\ 2x - 5 \geqslant 0 \\ 8x=3a-6 \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} 3x - a < 0 \\ 2x - 5 < 0 \\ 12x=3a+4 \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} x \geqslant \frac{a}{3} \\ x \geqslant \frac{5}{2} \\ x = \frac{3}{{10}}a + \frac{3}{5} \end{gathered} \right. \\ \left\{\begin{gathered} x \geqslant \frac{a}{3} \\ x < \frac{5}{2} \\ x = \frac{1}{{2}}a - \frac{2}{3} \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} x < \frac{a}{3} \\ x \geqslant \frac{5}{2} \\ x = \frac{3}{{8}}a - \frac{3}{4} \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} x < \frac{a}{3} \\ x < \frac{5}{2} \\ x = \frac{1}{{4}}a + \frac{1}{3} \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.=>\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a \in [\frac{{19}}{3};18] \\ x = \frac{3}{{10}}a + \frac{3}{5} \end{gathered} \right. \\ \left\{\begin{gathered} a \in [4;\frac{19}{{3}}) \\ x = \frac{1}{{2}}a - \frac{2}{3} \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} a \in [\frac{{26}}{3};18) \\ x = \frac{3}{{8}}a - \frac{3}{4} \end{gathered} \right.\\ \left\{\begin{gathered} a \in (4;\frac{{26}}{3}) \\ x = \frac{1}{{4}}a + \frac{1}{3} \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$%

Отсюда следует, что уравнение $%3\left| {3x - a} \right| + \left| {2x - 5} \right| = x + 1$% имеет решения при $%a \in [4;18]$%. Значит $%{a_{\min }} = {\text{2}}x{\text{ + }}y = 4\,\,\,\,\,{a_{\max }} = 2x + y = 18$%

ссылка

отвечен 11 Июл '14 3:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

alt text

Еще одно решение с измененным условием

ссылка

отвечен 11 Июл '14 13:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787

задан
10 Июл '14 21:40

показан
726 раз

обновлен
11 Июл '14 13:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru