стереометрия - Найти объем тетраэдра

Я бы стал решать при помощи векторов. Вычисления получаются более или менее стандартные, но довольно длинные.

Если $%\varphi$% -- угол между прямой $%AB$% и каждой из трёх указанных в условии прямых, то углы между соответствующими векторами будут равны либо $%\varphi$%, либо $%\pi-\varphi$%, поэтому косинусы углов получатся равными $%\pm\cos\varphi$%.

Будем все векторы выражать через векторы с началом $%A$%, обозначая для краткости вектор типа $%\vec{AX}$% маленькой латинской буквой $%x$%. Тогда $%\vec{MN}=n-m=\frac12(c+d-b)$%. Находим скалярные произведения вектора $%\vec{AB}$% на каждый из векторов $%\vec{AC}$%, $%\vec{BD}$%, $%\vec{MN}$%. Получается $%\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\pm3\cdot5\cdot\cos\varphi$%, откуда $%b\cdot c=\pm15\cos\varphi$% (здесь $%b$% и $%c$% -- это векторы). Далее, $%\vec{AB}\cdot\vec{BD}=\pm3\cdot7\cdot\cos\varphi$%, то есть $%b\cdot(d-b)=\pm21\cos\varphi$%. Наконец, $%\vec{AB}\cdot\vec{MN}=\pm3\cdot2\cdot\cos\varphi$%, то есть $%b\cdot(c+d-b)=\pm12\cos\varphi$%.

Сравнивая последнее из векторных равенств с двумя предыдущими, с учётом того, что $%b\cdot(c+d-b)=b\cdot c+b\cdot(d-b)$% и сокращая на 3, приходим к условию $%\pm4\cos\varphi=\pm5\cos\varphi\pm7\cos\varphi$%, которое при любом выборе знаков влечёт $%\cos\varphi=0$%, то есть все три угла между прямыми из условия равны 90 градусам.

Зная это, объём можно найти, достроив тетраэдр до параллелепипеда и используя то, что объём параллелепипеда в 6 раз больше. Построение можно осуществлять на любых трёх рёбрах. В частности, можно параллельно перенести ребро $%BD$% так, чтобы его начало совпало с $%A$%. Иными словами, надо рассмотреть вектор $%\vec{AE}=\vec{BD}$% и построить параллелепипед на ребрах $%AB$%, $%AC$%, $%AE$%. При этом отрезок $%AB$% будет перпендикулярен плоскости $%ACE$%, и достаточно найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $%AC$% и $%AE$%. Для этого нам надо узнать угол между этими векторами, что снова можно сделать через скалярные произведения.

Итак, $%\vec{AC}\cdot\vec{AE}=\vec{AC}\cdot\vec{BD}=35\cos\psi$%, где $%\psi$% -- искомый угол. Мы выразим его косинус, а затем и синус, если найдём скалярное произведение $%c\cdot(d-b)=c\cdot d$%. Заметим, что из сказанного выше следуют равенства $%b\cdot c=0$% и $%b\cdot d=b^2=9$%. Помимо этого, нам известно, что $%c^2=25$%, и $%49=\vec{BD}^2=(d-b)^2=d^2-2b\cdot d+b^2=d^2-b^2=d^2-9$%, откуда $%d^2=58$%. Наконец, нам известно, что $%2\vec{MN}=c+d-b$%, откуда $%(c+d-b)^2=16$%. Раскрытие скобок даёт $%c^2+d^2+b^2+2c\cdot d-2b\cdot d=16$%, откуда выражается $%c\cdot d=-29$%.

Таки образом, $%\cos\psi=-\frac{29}{35}$%, откуда $%\sin^2\psi=1-\frac{29^2}{35^2}=\frac{6\cdot64}{35^2}$%. С учётом неотрицательности синуса, $%\sin\psi=\frac{8\sqrt6}{36}$%. Поэтому площадь параллелограмма в основании равна $%8\sqrt6$%, что после умножения на высоту $%AB=3$% даёт объём параллелепипеда. Деля на 6, получаем $%V=4\sqrt6$% для объёма тетраэдра.