Докажите неравенство

Здесь в условии имеется опечатка: во втором слагаемом левой части неравенства должно быть возведение в степень $%1/2$%. Кроме того, при $%a=b=1$%, $%c=d=0$% получается $%\sqrt2\ge2$%, то есть неверное неравенство.

Верен другой факт, а именно: $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}.$$

Фактически, это есть не что иное как неравенство треугольника. Рассмотрим два вектора с координатами $%(a;b)$% и $%(c;d)$%. Тогда в левой части находится сумма длин этих векторов, а в правой -- длина их суммы. Если эти векторы нарисовать в виде "стрелочек", то получится утверждение о том, что $%|\vec{XY}|+|\vec{YZ}|\ge|\vec{XZ}|$%, то есть это обычное неравенство треугольника.

Возможен, конечно, и чисто алгебраический способ доказательства, основанный на возведении в квадрат. Если это сделать и произвести упрощения, а потом возвести в квадрат ещё раз, то возникает верное неравенство $%(ad-bc)^2\ge0$%, равносильное исходному.