Докажите неравенство $$(a^2+b^2)^{1/2}+(c^2+d^2)>=((a+b)^2+(c+d)^2)^{1/2}$$

задан 10 Июл '14 22:47

изменен 11 Июл '14 12:24

Deleted's gravatar image


126

@themamiem, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(11 Июл '14 12:24) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь в условии имеется опечатка: во втором слагаемом левой части неравенства должно быть возведение в степень $%1/2$%. Кроме того, при $%a=b=1$%, $%c=d=0$% получается $%\sqrt2\ge2$%, то есть неверное неравенство.

Верен другой факт, а именно: $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}.$$

Фактически, это есть не что иное как неравенство треугольника. Рассмотрим два вектора с координатами $%(a;b)$% и $%(c;d)$%. Тогда в левой части находится сумма длин этих векторов, а в правой -- длина их суммы. Если эти векторы нарисовать в виде "стрелочек", то получится утверждение о том, что $%|\vec{XY}|+|\vec{YZ}|\ge|\vec{XZ}|$%, то есть это обычное неравенство треугольника.

Возможен, конечно, и чисто алгебраический способ доказательства, основанный на возведении в квадрат. Если это сделать и произвести упрощения, а потом возвести в квадрат ещё раз, то возникает верное неравенство $%(ad-bc)^2\ge0$%, равносильное исходному.

ссылка

отвечен 11 Июл '14 1:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×220

задан
10 Июл '14 22:47

показан
295 раз

обновлен
11 Июл '14 12:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru