найти сотую цифру после запятой числа $$(44+\sqrt{2009})^{2009}$$ Мне только идею решения!!!!! или ответ

задан 11 Июл '14 20:43

изменен 11 Июл '14 20:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим числа $%\lambda_1=44+\sqrt{2009}$% и $%\lambda_2=44-\sqrt{2009}$%. Ясно, что $%\lambda_1+\lambda_2=88$% и $%\lambda_1\lambda_2=44^2-2009=-73$%. Это означает, что оба числа являются решениями квадратного уравнения $%\lambda^2-88\lambda-73=0$%. Из этого следует, что $%\lambda^{n+2}=88\lambda^{n+1}+73\lambda^n$% при любом целом неотрицательном $%n\ge0$%, то есть последовательности $%a_n=\lambda_i^n$% ($%i=1,2$%) удовлетворяют рекуррентному уравнению $%a_{n+2}=88a_{n+1}+73a_n$%. Поскольку уравнение однородно, этот же факт верен для их суммы: $%a_n=\lambda_1^n+\lambda_2^n$%. При этом $%a_0=2$%, $%a_1=88$%, а все остальные члены выражаются через предыдущие с целыми коэффициентами, то есть все числа последовательности $%a_n=(44+\sqrt{2009})^n+(44-\sqrt{2009})^n$% являются целыми. Последнее, впрочем, можно также установить с помощью биномиальной формулы.

Заметим, что $%-1 < \lambda_2 < 0$% за счёт того, что $%44^2 < 2009 < 45^2$%. Отсюда следует, что $%\lambda_2^n$% стремится к нулю при $%n\to\infty$%, причём для нечётных $%n$% эти величины будут отрицательными. Отсюда следует, что $%(44+\sqrt{2009})^{2009}=a_{2009}-\lambda_2^{2009}$% чуть-чуть превышает целое число, откуда следует ожидать, что после десятичной запятой будет следовать достаточно много нулей. Остаётся оценить их количество.

Достаточно доказать, что $%(-\lambda_2)^{2009} < 10^{-100}$%. Из этого будет следовать, что по крайней мере сто цифр после запятой -- это нули. Перейдём к обратными величинам, и тогда требуется доказать, что число $%\frac1{\sqrt{2009}-44}=\frac{\sqrt{2009}+44}{73} > \frac{88}{73}$% при возведении в $%2009$%-ю степень превысит $%10^{100}$%. Поскольку $%\frac{88}{73} > \frac65$%, достаточно проверить, что $%(1+\frac15)^{20} > 10$%. Это можно сделать прямым вычислением, а можно заметить, что $%(1+\frac15)^5 > 2$% в силу неравенства Бернулли, и тогда оцениваемая величина больше $%2^4 > 10$%.

ссылка

отвечен 11 Июл '14 22:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,069
×2,715
×479
×200

задан
11 Июл '14 20:43

показан
534 раза

обновлен
11 Июл '14 22:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru