|
дан треугольник ABC в котором BM медиана. точка P лежит на стороне AB, точка Q на стороне BC, причем AP:BP=2:5, BQ:QC=6. Отрезок PQ пересекает медиану BM в точке R. Найдите BR:RM задан 11 Июл '14 20:58 
themamiem |
|
Здесь можно два раза применить теорему Менелая. Для треугольника $%ABC$% это даёт следующее равенство: $$\frac{\vec{AP}}{\vec{PB}}\cdot\frac{\vec{BQ}}{\vec{QC}}\cdot\frac{\vec{CS}}{\vec{SA}}=-1,$$ где $%S$% -- точка пересечения прямых $%PQ$% и $%AC$%. Первые два сомножителя равны $%\frac25$% и $%\frac61$%, поэтому третий равен $%-\frac5{12}$%. Это значит, что $%|CS|:|CA|=5:7$%. Из того, что $%|AM|=|MC|$%, следует, что $%|MC|:|CB|=7:10$%, то есть $%\frac{\vec{CS}}{\vec{CM}}=-\frac{10}{17}$%. Применяя теорему Менелая к треугольнику $%BCM$%, с учётом $%BQ:QC=6$%, получаем $%RM:RB=\frac{17}{60}$%, поэтому $%BR:RM=\frac{60}{17}$%. отвечен 11 Июл '14 23:53 
falcao |