Найдите все целочисленные решения уравнения (x^2+y^2)(x-y-3)=2xy

задан 11 Июл '14 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ясно, что пара $%(x,y)=(0;0)$% является решением. Заметим, что $%\pm2xy\le x^2+y^2$%, откуда, переходя к модулям, имеем $%(x^2+y^2)|x-y-3|=|2xy|\le x^2+y^2$%. Если $%(x;y)\ne0$%, то $%|x-y-3|\le1$%, то есть $%x-y-3\in\{0;1;-1\}$%.

Если $%x-y-3=0$%, то правая часть уравнения равна нулю, и хотя бы одно из чисел нулевое. Это даёт два решения $%(3;0)$% и $%(0;-3)$%. Если $%x-y-3=1$%, то $%x^2+y^2=2xy$%, откуда $%x=y$%, и таких решений нет. Если $%x-y-3=-1$%, то $%x^2+y^2=-2xy$%, откуда $%x=-y$%, и получается решение $%(x,y)=(1;-1)$%. Итого уравнение имеет 4 решения в целых числах.

ссылка

отвечен 11 Июл '14 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787
×119

задан
11 Июл '14 21:18

показан
1383 раза

обновлен
11 Июл '14 23:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru