|
$$ \\ sin(5x)/sin(x) -cos(5x)/cos(x)=sin(x)/sin(5x)-cos(x)/cos(5x) $$ задан 12 Июл '14 15:40 
mango44 |
|
$% \frac{sin5x}{sinx} -\frac{cos5x}{cosx}=\frac {sinx}{sin5x}-\frac{cosx}{cos5x}\Leftrightarrow \frac{sin5x}{sinx} +\frac{cosx}{cos5x}=\frac{cos5x}{cosx}+\frac {sinx}{sin5x}\Leftrightarrow $% $%\Leftrightarrow \frac{sin5xcos5x+cosxsinx}{sinxcos5x}=\frac{sin5xcos5x+cosxsinx}{cosxsin5x} \Leftrightarrow \begin{cases}\left [ \begin{aligned}sin5xcos5x+cosxsinx=0\\sinxcos5x=cosxsin5x \end{aligned} \right.\\sinxcos5xcosxsin5x\ne0 \end{cases} \Leftrightarrow $% $%\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} 2sin5xcos5x+2cosxsinx=0\\sinxcos5x-cosxsin5x=0 \end{aligned} \right. \\sin2xsin10x\ne0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned}sin10x+sin2x=0\\sin4x=0 \end{aligned} \right.\\x\ne \frac{\pi k}{10} (k\in Z) \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} \left[ \begin{aligned}2sin6xcos4x=0\\sin4x=0 \end{aligned} \right.\\x\ne \frac{\pi k}{10} (k\in Z) \end{cases} \Leftrightarrow$% $% \Leftrightarrow\begin{cases} \left[ \begin{aligned}sin6x=0\\sin8x=0 \end{aligned} \right.\\x\ne \frac{\pi k}{10} (k\in Z) \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}x=\frac{\pi k}6, k=3n\pm1 (n\in Z)\\ \ \ x=\frac{\pi k}8, k=4n \pm1, k=4n+2, (n\in Z) \end{aligned} \right. $% Ответ. $%\pm \frac{\pi}6+\frac{\pi}2n, \pm \frac{\pi}8+\frac{\pi}2n,\frac{\pi}4+\frac{\pi}2n , n\in Z $% Ответ на комментарии Для проверки решений уравнений $%sin6x=0$% и $% sin8x=0, $% надо выяснить выполняется ли условие $%x\ne \frac{\pi k}{10} (k\in Z) \ \ ( sin (10x)\ne 0).$% $%sin6x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi k}6 (k\in Z),\ \ \ \ sin(10\cdot \frac{\pi k}6 )=sin(5\cdot \frac{\pi k}3 )\ne 0.$% Последнее неравнество выполняется , если $%k$% не делится на $%3,$% то есть $%k=3n\pm1.$% $%sin8x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi k}8 (k\in Z),\ \ \ \ sin(10\cdot \frac{\pi k}8 )=sin(5\cdot \frac{\pi k}4 )\ne 0.$% Последнее неравнество выполняется , если $%k$% не делится на $%4,$% то есть $%k=4n\pm1,k=4n+2.$% отвечен 12 Июл '14 16:41 
ASailyan А можете поподробнее написать как вы получили такие k?
(13 Июл '14 15:37)
mango44
Большое спасибо
(13 Июл '14 21:18)
mango44
|
|
Левая часть равна $%2\frac{\sin5x\cos x-\cos5x\sin x}{\sin2x}=2\frac{\sin4x}{\sin2x}$%. Правая часть равна $%2\frac{\sin x\cos5x-cos x\sin5x}{\sin10x}=-2\frac{\sin4x}{\sin10x}$%. Отсюда следует, что $%\sin4x=0$% или $%\sin2x+\sin10x=0$% при ограничениях $%\sin2x\ne0$%, $%\sin10x\ne0$%. Если $%\sin4x=0$%, то отсюда следует, что $%\cos2x=0$%. Неравенство $%\sin2x\ne0$% при этом выполнено. Ясно также, что $%x=\frac{\pi}4+\frac{\pi k}2$%, где $%k\in\mathbb Z$%. При этом $%10x=\frac{5\pi}2+5\pi k$%, откуда $%\sin10x=\pm\sin\frac{\pi}2=\pm1\ne0$%, то есть это даёт серию решений. Если $%\sin2x+\sin10x=0$%, то $%\sin6x\cos4x=0$%. Условие $%\sin6x=0$% означает, что $%x=\frac{\pi m}6$%, где $%m\in\mathbb Z$%. Тогда $%\sin2x=\sin\frac{\pi m}3\ne0$%, откуда $%m$% не делится на $%3$%, то есть $%m\notin3\mathbb Z$%. При этом $%\sin10x=\sin\frac{5\pi m}3\ne0$%, так как $%5m$% не кратно трём. Получается ещё одна серия решений $%x=\frac{\pi m}6$%, где $%m\in\mathbb Z\setminus3\mathbb Z$%. Наконец, при $%\cos4x=0$% получается $%\sin4x=\pm1$%, откуда видно, что $%\sin2x\ne0$%. Здесь получится $%x=\frac{\pi}8+\frac{\pi n}4$% при $%n\in\mathbb Z$%, и тогда $%\sin10x=\sin(\frac{5\pi}4+\frac{5\pi n}2)=\sin\frac{5\pi(2n+1)}4\ne0$%, что приводит к третьей серии решений. Форма записи ответа в принципе может быть и другой. отвечен 12 Июл '14 16:18 
falcao |