стереометрия - Найти площадь грани ASD четырехугольной пирамиды

Метод координат здесь можно применить следующим образом. У нас имеются две перпендикулярные плоскости, и их можно принять за $%Oxz$%, $%Oyz$%, поместив начало координат в точку пересечения диагоналей параллелограмма. Точка $%S$% лежит на линии пересечения плоскостей, то есть на оси $%Oz$%, и тогда без ограничения общности можно считать, что $%S(0;0;1)$%. Отрезок $%AC$% выбираем в плоскости $%Oxz$%, и его концы имеют противоположные координаты. Тогда в пространстве получится $%A(a;0;b)$% и $%C(-a;0;-b)$%. Вторая координата будет нулевой, так как отрезок расположен в плоскости $%Oxz$%. Аналогично, $%B(0;c;d)$% и $%D(0;-c;-d)$%.

Теперь выразим квадраты площадей граней. Площадь грани $%SAB$% равна $%SA\cdot SB\cdot\sin\varphi$%, где $%\varphi$% -- угол при вершине $%S$%. При возведении в квадрат и выражении через косинус у нас получится $%SA^2\cdot SB^2-(SA\cdot SB\cdot\cos\varphi)^2$%, то есть произведение квадратов расстояний минус квадрат скалярного произведения векторов.

Координаты векторов $%\vec{SA}$% и $%\vec{SB}$% нам известны: это $%(a;0;b-1)$% и $%(0;c;d-1)$%. Скалярное произведение равно $%(b-1)(d-1)$%. Поэтому для квадрата площади грани $%SAB$% получается такая формула: $$S_1^2=(a^2+(b-1)^2)(c^2+(d-1)^2)-(b-1)^2(d-1)^2=a^2c^2+a^2(d-1)^2+c^2(b-1)^2.$$

Аналогично поступаем с остальными гранями. Для квадрата площади $%SBC$% имеем выражение $$S_2^2=a^2c^2+a^2(d-1)^2+c^2(b+1)^2,$$ и далее для квадратов площадей граней $%SCD$%, $%SDA$% соответственно получится $$S_3^2=a^2c^2+a^2(d+1)^2+c^2(b+1)^2$$ и $$S_4^2=a^2c^2+a^2(d+1)^2+c^2(b-1)^2.$$ Рассматривая первые, вторые и третьи слагаемые каждой из четырёх сумм, мы легко приходим к равенству $%S_1^2+S_3^2=S_2^2+S_4^2$%, то есть суммы квадратов противоположных граней равны между собой. Осталось подставить числа из условия: $%5^2+7^2=6^2+S_4^2$%, откуда площадь грани $%ASD$% оказывается равна $%\sqrt{38}$%.