В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Известно, что плоскости треугольников ASC и BSD перпендикулярны друг другу. Найти площадь грани ASD, если площади граней ASB, BSC и CSD равны соответственно 5, 6 и 7.

Вроде бы удобно ввести систему координат, но я запуталась и ничего не вышло.

задан 12 Июл '14 23:04

изменен 14 Июл '14 16:08

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Метод координат здесь можно применить следующим образом. У нас имеются две перпендикулярные плоскости, и их можно принять за $%Oxz$%, $%Oyz$%, поместив начало координат в точку пересечения диагоналей параллелограмма. Точка $%S$% лежит на линии пересечения плоскостей, то есть на оси $%Oz$%, и тогда без ограничения общности можно считать, что $%S(0;0;1)$%. Отрезок $%AC$% выбираем в плоскости $%Oxz$%, и его концы имеют противоположные координаты. Тогда в пространстве получится $%A(a;0;b)$% и $%C(-a;0;-b)$%. Вторая координата будет нулевой, так как отрезок расположен в плоскости $%Oxz$%. Аналогично, $%B(0;c;d)$% и $%D(0;-c;-d)$%.

Теперь выразим квадраты площадей граней. Площадь грани $%SAB$% равна $%SA\cdot SB\cdot\sin\varphi$%, где $%\varphi$% -- угол при вершине $%S$%. При возведении в квадрат и выражении через косинус у нас получится $%SA^2\cdot SB^2-(SA\cdot SB\cdot\cos\varphi)^2$%, то есть произведение квадратов расстояний минус квадрат скалярного произведения векторов.

Координаты векторов $%\vec{SA}$% и $%\vec{SB}$% нам известны: это $%(a;0;b-1)$% и $%(0;c;d-1)$%. Скалярное произведение равно $%(b-1)(d-1)$%. Поэтому для квадрата площади грани $%SAB$% получается такая формула: $$S_1^2=(a^2+(b-1)^2)(c^2+(d-1)^2)-(b-1)^2(d-1)^2=a^2c^2+a^2(d-1)^2+c^2(b-1)^2.$$

Аналогично поступаем с остальными гранями. Для квадрата площади $%SBC$% имеем выражение $$S_2^2=a^2c^2+a^2(d-1)^2+c^2(b+1)^2,$$ и далее для квадратов площадей граней $%SCD$%, $%SDA$% соответственно получится $$S_3^2=a^2c^2+a^2(d+1)^2+c^2(b+1)^2$$ и $$S_4^2=a^2c^2+a^2(d+1)^2+c^2(b-1)^2.$$ Рассматривая первые, вторые и третьи слагаемые каждой из четырёх сумм, мы легко приходим к равенству $%S_1^2+S_3^2=S_2^2+S_4^2$%, то есть суммы квадратов противоположных граней равны между собой. Осталось подставить числа из условия: $%5^2+7^2=6^2+S_4^2$%, откуда площадь грани $%ASD$% оказывается равна $%\sqrt{38}$%.

ссылка

отвечен 13 Июл '14 4:57

А из того что плоскости в условии перпендикулярны не следует перпендикулярность диагоналей?

(13 Июл '14 12:36) Doctrina

@Doctrina: совершенно не следует. Это ясно из построения, если начать с двух перпендикулярных плоскостей, а потом нарисовать в них отрезки как угодно. Ясно, что угол между ними может оказаться произвольным.

(13 Июл '14 12:53) falcao

Почему как угодно? Диагонально АС лежит в плоскости АSС, диагональ BD в плоскости BSD, они пересекаются по прямой SH. Вроде бы это подходит под определение, угол между двумя пересекающимися плоскостями (диагональными) равен углу между прямыми (диагоналями), по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения (основание).

(13 Июл '14 13:03) Doctrina

@Doctrina: плоскости пересекаются по прямой $%SO$%, где $%O$% -- точка пересечения диагоналей. Если бы было известно, что $%SO$% перпендикулярна плоскости основания, то отсюда бы всё, разумеется, следовало. Однако расположения вершины $%S$% мы не знаем.

Я предлагаю осознать вне связи с этой задачей, что если две прямые расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях, и больше про них ничего не известно, то угол между ними может быть каким угодно.

(13 Июл '14 13:13) falcao

Кстати, из условия можно заключить, что $%SO$% заведомо не перпендикулярна основанию, потому что в противном случае площадь $%SAB$% была бы равна площади $%SCD$%. Эти треугольники были бы просто-напросто равны.

(13 Июл '14 13:15) falcao

Ясно, я почему-то решила, что основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей.

(13 Июл '14 13:15) Doctrina

А то, что BD обязательно попадает в плоскость OZY, следует из перпендикулярности плоскостей в условии? И почему можно считать, что S(0, 0, 1)?

(13 Июл '14 13:59) Doctrina
1

@Doctrina: систему координат мы выбираем сами, и делаем это как хотим. В частности, мы можем сделать так, чтобы две координатные плоскости, про которые известно, что они перпендикулярны, совпадали с двумя координатными плоскостями выбираемой нами системы. При этом, конечно, ничего не мешает расположить начало координат в точке $%O$%.

Что касается координаты точки $%S$%, то можно было бы, конечно, положить её равной не 1, а какому-то числу $%r$%. Формулы бы при этом слегка изменились. Общности это не ограничивает, потому что мы доказываем факт о квадратах площадей; он верен в любом масштабе..

(13 Июл '14 14:06) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×411
×77

задан
12 Июл '14 23:04

показан
924 раза

обновлен
13 Июл '14 14:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru