алгебра - При каких значениях a система имеет единственное решение?

Приведем систему к виду: $%\begin{cases}axy+x-y+\frac{3}{2}=0\\y(x+2)=-(x+1)\end{cases}$%

При $%x = - 2$% второе уравнение не имеет решений, тогда $%\begin{cases}axy+x-y+\frac{3}{2}=0\\y = - \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}}{{2(x + 2)}} = 0\\y = - \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\end{cases}$%

Рассмотрим какие значения может принимать параметр при $%x = - 2$%, для этого подставим $%x = - 2$% в уравнение $%{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}=0$% и решим его. Получаем $%a = - \frac{1}{2}$%. В дальнейшем нужно будет проверить имеет ли система решения при $%a = - \frac{1}{2}$%.

Задача сводится к поиску значений параметра, при которых $%{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}=0$% имеет одно решение. Сначала заметим, что квадратное уравнение превращается в линейное при $%a = 1$%. Подставим данное значение и решим уравнение. Получаем $%( - \frac{8}{7};\frac{1}{6})$%. Значит данное значение параметра нам подходит.

Далее потребуем чтобы дискриминант уравнения был равен нулю. Решаем $%{(9 - 2a)^2} + 64(a - 1) = 0$% и получаем $%a = - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 $% и $%a = - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 $%

Проверка показывает что при $%a = - \frac{1}{2}$% система имеет одно решение: $%( - \frac{4}{3};\frac{1}{2})$%

При $%a = - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 $% решение системы: $%(\frac{2}{7}(\sqrt 2 - 4);\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }})$%

При $%a = - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 $% решение системы: $%( - \frac{2}{7}(\sqrt 2 + 4);\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 2 }})$%

Ответ: $%a = \{ - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 ; - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 ; - \frac{1}{2};1\} $%