При каких значениях параметра a система имеет единственное решение?

$%axy+x-y+3/2=0 $%
$%x+2y+xy+1=0 $%

Получить график второго уравнения несложно, а вот с первым трудности, неграфических идей нет.

задан 13 Июл '14 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Приведем систему к виду: $%\begin{cases}axy+x-y+\frac{3}{2}=0\\y(x+2)=-(x+1)\end{cases}$%

При $%x = - 2$% второе уравнение не имеет решений, тогда $%\begin{cases}axy+x-y+\frac{3}{2}=0\\y = - \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\frac{{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}}{{2(x + 2)}} = 0\\y = - \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\end{cases}$%

Рассмотрим какие значения может принимать параметр при $%x = - 2$%, для этого подставим $%x = - 2$% в уравнение $%{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}=0$% и решим его. Получаем $%a = - \frac{1}{2}$%. В дальнейшем нужно будет проверить имеет ли система решения при $%a = - \frac{1}{2}$%.

Задача сводится к поиску значений параметра, при которых $%{ - 2(a - 1){x^2} + (9 - 2a)x + 8}=0$% имеет одно решение. Сначала заметим, что квадратное уравнение превращается в линейное при $%a = 1$%. Подставим данное значение и решим уравнение. Получаем $%( - \frac{8}{7};\frac{1}{6})$%. Значит данное значение параметра нам подходит.

Далее потребуем чтобы дискриминант уравнения был равен нулю. Решаем $%{(9 - 2a)^2} + 64(a - 1) = 0$% и получаем $%a = - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 $% и $%a = - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 $%

Проверка показывает что при $%a = - \frac{1}{2}$% система имеет одно решение: $%( - \frac{4}{3};\frac{1}{2})$%

При $%a = - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 $% решение системы: $%(\frac{2}{7}(\sqrt 2 - 4);\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 2 }})$%

При $%a = - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 $% решение системы: $%( - \frac{2}{7}(\sqrt 2 + 4);\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 2 }})$%

Ответ: $%a = \{ - \frac{7}{2} - 2\sqrt 2 ; - \frac{7}{2} + 2\sqrt 2 ; - \frac{1}{2};1\} $%

ссылка

отвечен 13 Июл '14 2:46

изменен 13 Июл '14 3:37

@void_pointer, а там, где знак следствия, первое уравнение домножается и делится на 2(x+2)? У меня (2axy+2x-2y+3)*(x+2) не получается такой знаменатель.

(13 Июл '14 2:58) Doctrina
1

Знак тут роли не играет. После упращения придете к той форме что я использовал. Главное понять саму идею нахождения единственного решения.

(13 Июл '14 3:38) void_pointer

Все, сообразила, вы же подстановку сделали.

(13 Июл '14 3:45) Doctrina
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,069
×427
×271

задан
13 Июл '14 1:33

показан
1077 раз

обновлен
13 Июл '14 3:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru