Здравствуйте, не получается решить данный дифур . И преподаватель еще требует решение двумя способами . Помогите решить хотябы 1 способом.Заранее огромнейшее спасибо. $$y'' + 25y = sin(5\cdot x) + e^{5 \cdot x}$$

задан 13 Июл '14 13:18

изменен 14 Июл '14 16:05

Deleted's gravatar image


126

falcao, а не могли вы поподробнее расписать как именно выразить производные и подставить в уравнение, когда находим правую часть .

(13 Июл '14 14:13) graberbuber

@graberbuber: здесь достаточно уметь находить производные по обычным правилам. Скажем, если $%y(x)=f(x)\cos5x$%, то понятно, что $%y'(x)=f'(x)\cos5x-5f(x)\sin5x$%, и так далее. Это простые действия, которыми надо владеть до знакомства с дифференциальными уравнениями.

(13 Июл '14 15:34) falcao

@graberbuber, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(14 Июл '14 16:07) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

Один из способов таков: общее решение неоднородного уравнения получается суммированием общего решения однородного уравнения, которое равно $%C_1\cos5x+C_2\sin5x$%, и частного решения неоднородного уравнения. При этом для каждого из слагаемых в правой части частные решения могут быть найдены по отдельности.

Для того, чтобы в правой части получилось $%\sin5x$%, достаточно найти частное решение вида $%y(x)=f(x)\cos5x$%, где $%f$% -- неизвестная функция. Выражая производные и подставляя в уравнение, имеем $%y''+25y=f''\cos5x-10f'\sin5x$%.Нас устраивает случай $%f'(x)=-\frac1{10}$%, то есть можно взять $%y(x)=-\frac{x}{10}\cos5x$%.

Для слагаемого с экспонентой частное решение ищем в виде $%y(x)=g(x)e^{5x}$%. Здесь тот же способ даёт $%y''+25y=(g''+10g'+50g)e^{5x}$%, и достаточно положить $%g(x)=\frac1{50}$%, то есть $%y(x)=\frac1{50}e^{5x}$% будет давать $%e^{5x}$% в правой части уравнения.

Окончательно имеем такое общее решение неоднородного уравнения: $%y(x)=C_1\cos5x+C_2\sin5x-\frac{x}{10}\cos5x+\frac1{50}e^{5x}$%.

ссылка

отвечен 13 Июл '14 13:47

подскажите пожалуйста как Вы выразили производные, которые в правой части?

(13 Июл '14 14:40) graberbuber
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Как всегда с опозданием. Второй способ -метод вариации произвольных постоянных. делать им не хочется: здесь он длиннее и нуднее

ссылка

отвечен 13 Июл '14 13:56

Спасибо огромное, а Вы не могли бы объяснить как решить операторным методом?

(13 Июл '14 15:05) graberbuber
10|600 символов нужно символов осталось
0

@graberbuber, как решить операторным методом?
Применяете к уравнению преобразование Лапласа и, используя табличные значения, получаете $$p^2\cdot Y(p)-p\cdot y(0)-y'(0)+25\cdot Y(p)=\frac{5}{p^2+25}+\frac{1}{p-5},$$ где $%Y(p)$% - образ решения... выражаете его ... раскладываете полученную правую часть в сумму простых дробей ... и снова используя таблицу преобразований, получаете решение...

ссылка

отвечен 15 Июл '14 4:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803

задан
13 Июл '14 13:18

показан
810 раз

обновлен
15 Июл '14 4:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru