Модуль: $%r=5$%, аргумент: $%arg\ z = \arctan 4/3$%, $%Arg\ z = \arctan 4/3 + 2 \pi k$%, $%k=0, ..., n-1 = 0,1$%. Кроме того, $%\pi/4 < \arctan4/3 < \pi/3$% Значит, $%\sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(Arg\ z /2)} + i \sin{(Arg\ z /2))}$% То есть будет ровно два корня. Не очень хороших. Но в ответах хорошие корни: $%\pm(2+i)$%. Скажите, пожалуйста, что не так. Или, может быть, опечатка в книге? задан 13 Июл '14 20:52 Silence |
отвечен 13 Июл '14 21:27 epimkin Спасибо! Что-то я не догадался так сделать. Скорее всего у меня все верно, нужно аккуратно посчитать. По дороге домой перепроверю и отпишусь.
(13 Июл '14 21:36)
Silence
В первом посте нашли, что $%\sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(Arg\ z /2)} + i \sin{(Arg\ z /2))}$% где $%Arg\ z = \arctan 4/3 + 2 \pi k$%, $%k=0, ..., n-1 = 0,1$%. $%k=0: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}} + i \sin{\frac{\arctan 4/3}{2})}$% $%k=1: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi)} + i \sin{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi))} = -\sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}}+i\sin{\frac{\arctan 4/3}{2}})$%
(16 Июл '14 1:05)
Silence
Обозначим $%\alpha = \frac{\arctan 4/3}{2} \in (0,\pi/2)$% Тогда $%\sqrt{3+4i}=\pm \sqrt{5}(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$% Как показывает калькулятор, $%\sqrt{5} \cos\alpha=2$%, $%\sqrt{5} \sin\alpha=1$%. Значит, $%\sqrt{3+4i}=\pm (2+i)$%. Что совпадает с ответом. Калькулятором, конечно, пользоваться было нечестно. Может быть, нужно было по-другому решать. p.s. ограничение объема комментария - что за глупость
(16 Июл '14 1:05)
Silence
1
@Silence: если тангенс острого угла равен 4/3, то его синус и косинус равны 4/5 и 3/5 соответственно, что легко выводится из тригонометрических тождеств. Согласно известным формулам, $%\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2=4/5$%, после чего косинус и синус угла $%\alpha$% легко находятся. Такой способ возможен, но он сложнее, поэтому при извлечении квадратного корня в подобного рода задачах лучше использовать алгебраический подход.
(16 Июл '14 3:47)
falcao
|
@Silence, Возведите ответ в квадрат, должно получится выражение под корнем(если правильно извлечен корень)
@Silence, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.