комплексные-числа - Корень из комплексного числа

Спасибо! Что-то я не догадался так сделать. Скорее всего у меня все верно, нужно аккуратно посчитать. По дороге домой перепроверю и отпишусь.

В первом посте нашли, что $%\sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(Arg\ z /2)} + i \sin{(Arg\ z /2))}$%

где $%Arg\ z = \arctan 4/3 + 2 \pi k$%, $%k=0, ..., n-1 = 0,1$%.

$%k=0: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}} + i \sin{\frac{\arctan 4/3}{2})}$%

$%k=1: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi)} + i \sin{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi))} = -\sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}}+i\sin{\frac{\arctan 4/3}{2}})$%

Обозначим $%\alpha = \frac{\arctan 4/3}{2} \in (0,\pi/2)$%

Тогда $%\sqrt{3+4i}=\pm \sqrt{5}(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$%

Как показывает калькулятор, $%\sqrt{5} \cos\alpha=2$%, $%\sqrt{5} \sin\alpha=1$%.

Значит, $%\sqrt{3+4i}=\pm (2+i)$%. Что совпадает с ответом. Калькулятором, конечно, пользоваться было нечестно. Может быть, нужно было по-другому решать.

p.s. ограничение объема комментария - что за глупость

@Silence: если тангенс острого угла равен 4/3, то его синус и косинус равны 4/5 и 3/5 соответственно, что легко выводится из тригонометрических тождеств. Согласно известным формулам, $%\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2=4/5$%, после чего косинус и синус угла $%\alpha$% легко находятся. Такой способ возможен, но он сложнее, поэтому при извлечении квадратного корня в подобного рода задачах лучше использовать алгебраический подход.