Найти все значения следующего корня и построить его

$$\sqrt{3+4i}$$

Модуль: $%r=5$%, аргумент: $%arg\ z = \arctan 4/3$%, $%Arg\ z = \arctan 4/3 + 2 \pi k$%, $%k=0, ..., n-1 = 0,1$%.

Кроме того, $%\pi/4 < \arctan4/3 < \pi/3$%

Значит, $%\sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(Arg\ z /2)} + i \sin{(Arg\ z /2))}$%

То есть будет ровно два корня. Не очень хороших. Но в ответах хорошие корни: $%\pm(2+i)$%.

Скажите, пожалуйста, что не так. Или, может быть, опечатка в книге?

задан 13 Июл '14 20:52

изменен 13 Июл '14 21:34

1

@Silence, Возведите ответ в квадрат, должно получится выражение под корнем(если правильно извлечен корень)

(13 Июл '14 21:20) epimkin
1

@Silence, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(14 Июл '14 16:05) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 13 Июл '14 21:27

Спасибо! Что-то я не догадался так сделать. Скорее всего у меня все верно, нужно аккуратно посчитать. По дороге домой перепроверю и отпишусь.

(13 Июл '14 21:36) Silence

В первом посте нашли, что $%\sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(Arg\ z /2)} + i \sin{(Arg\ z /2))}$%

где $%Arg\ z = \arctan 4/3 + 2 \pi k$%, $%k=0, ..., n-1 = 0,1$%.

$%k=0: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}} + i \sin{\frac{\arctan 4/3}{2})}$%

$%k=1: \ \sqrt{3+4i} = \sqrt{5}(\cos{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi)} + i \sin{(\frac{\arctan 4/3}{2} + \pi))} = -\sqrt{5}(\cos{\frac{\arctan 4/3}{2}}+i\sin{\frac{\arctan 4/3}{2}})$%

(16 Июл '14 1:05) Silence

Обозначим $%\alpha = \frac{\arctan 4/3}{2} \in (0,\pi/2)$%

Тогда $%\sqrt{3+4i}=\pm \sqrt{5}(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$%

Как показывает калькулятор, $%\sqrt{5} \cos\alpha=2$%, $%\sqrt{5} \sin\alpha=1$%.

Значит, $%\sqrt{3+4i}=\pm (2+i)$%. Что совпадает с ответом. Калькулятором, конечно, пользоваться было нечестно. Может быть, нужно было по-другому решать.

p.s. ограничение объема комментария - что за глупость

(16 Июл '14 1:05) Silence
1

@Silence: если тангенс острого угла равен 4/3, то его синус и косинус равны 4/5 и 3/5 соответственно, что легко выводится из тригонометрических тождеств. Согласно известным формулам, $%\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2=4/5$%, после чего косинус и синус угла $%\alpha$% легко находятся. Такой способ возможен, но он сложнее, поэтому при извлечении квадратного корня в подобного рода задачах лучше использовать алгебраический подход.

(16 Июл '14 3:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×379

задан
13 Июл '14 20:52

показан
857 раз

обновлен
16 Июл '14 3:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru