планиметрия - Найти стороны треугольника..

Пусть $%S$% -- площадь. Тогда полупериметр равен $%p=\frac{S}r=\frac{S}2$%. Если $%a$% -- сторона, на которую опущена высота $%h$%, то $%a=\frac{2S}h=\frac{S}3$%. Следовательно, $%b+c=2p-a=\frac{2S}3$%. Из формулы $%R=\frac{abc}{4S}$% получается $%bc=\frac{4SR}a=60$%.

Теперь применим формулу Герона в виде $%S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$%. Это даст $%S^2=\frac{S}2\cdot\frac{S}6\cdot(p^2-p(b+c)+bc)$%. После упрощений получится $%12=p^2-p(b+c)+60$%, то есть $%p(b+c-p)=48$%. Подставляя значения, найденные выше, имеем $%\frac{S}2(\frac{2S}3-\frac{S}2)=48$%, откуда $%S=24$%.

Таким образом, $%a=8$%, $%b+c=16$%, и с учётом $%bc=60$% оказывается, что $%b$% и $%c$% равны $%6$% и $%10$%. Треугольник является прямоугольным с катетами 6, 8 и гипотенузой 10.