|
Найти целую часть числа $%\ln 18$%. Нужно использовать то, что $%\ln x$% - площадь гиперболической трапеции с основанием $%[1;x]$%. задан 15 Июл '14 20:04 
student |
|
Имеется фигура, ограниченная прямыми $%y=0$%, $%y=\frac1x$%, $%x=1$%, $%x=18$%. Её площадь равна интегралу $%\int_1^{18}dx/x=\ln18$%. Соединим последовательно точки графика гиперболы с абсциссами вида $%\frac1k$% и $%\frac1{k+1}$% при $%1\le k\le17$%. Ясно, что гипербола выпукла вниз (вторая производная положительна), поэтому наша криволинейная трапеция станет частью объединения 18 маленьких трапеций, суммарная площадь которых равна $%\frac12(1+\frac12+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{17}+\frac1{18}) < 3$% за счёт того, что $%1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{18} < 3,5$%. С другой стороны, криволинейная трапеция содержит объединение прямоугольников с суммарной площадью $%\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{18} > 2$%. Из приведённых оценок ясно, что $%2 < \ln18 < 3$%, то есть $%\lfloor\ln18\rfloor=2$%. отвечен 15 Июл '14 23:38 
falcao Хотелось бы добавить ещё замечание, что в таком виде задача имеет чисто "учебный" характер (смысл только в идее использования оценок при помощи площадей). Тот факт, что $%2 < \ln18 < 3$%, равносилен условию $%e^2 < 18 < e^3$%, что легко следует из неравенств $%2,7 < e < 3$%.
(16 Июл '14 1:01)
falcao
|