a) Точка внутри треугольника является точкой Лемуана тогда и только тогда, когда x:y:z=a:b:c, где x,y,z - расстояния до сторон, a,b,c - длины сторон. b) Точка Лемуана - такая точка внутри треугольника, что для неё сумма квадратов расстояний до сторон - наименьшая

задан 15 Июл '14 21:50

изменен 15 Июл '14 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

a) Пусть $%L$% — точка Лемуана (определённая как пересечение симедиан), $%AM_1$% — медиана. Опустим перпендикуляры $%LP_2$%, $%M_1T_2$% на $%AC$%, $%LP_3$%, $%M_1T_3$% на $%AB$%.

Из определения симедианы следует, что пары прямоугольных треугольников $%ALP_3$% и $%AM_1T_2$%, $%ALP_2$% и $%AM_1T_3$% подобны. Немедленно получаем:

$$ \dfrac{LP_2}{LP_3} = \dfrac{LP_2}{AL}\cdot\dfrac{AL}{LP_3} = \dfrac{M_1T_3}{AM_1}\cdot\dfrac{AM_1}{M_1T_2} = \dfrac{M_1T_3}{M_1T_2} = \dfrac{2S_{AM_1B}}{AB} \Big/ \dfrac{2S_{AM_1C}}{AC} = \dfrac{AC}{AB}. $$

Обратное утверждение легко следует из единственности точки с данным отношением расстояний до сторон.

b) Легко следует из предыдущего пункта и неравенства Коши-Буняковского.

Действительно, независимо от точки $%X$% внутри треугольника произведение $%ax + by + cz = 2S = \text{const}$%. Поэтому

$$ x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{(ax + by + cz)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{4S^2}{a^2 + b^2 + c^2}, $$

а равенство достигается т. и т. т. к. тройка $%(x, y, z)$% пропорциональна $%(a, b, c)$%, т. е., для точки Лемуана.

ссылка

отвечен 20 Июл '14 16:29

изменен 21 Июл '14 1:30

1

@VladD: в последнем неравенстве опечатка в знаке неравенства (там должно быть $%\ge$%).

(21 Июл '14 1:28) falcao

@falcao: И правда :) Спасибо, исправил.

(21 Июл '14 1:31) VladD
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368

задан
15 Июл '14 21:50

показан
763 раза

обновлен
21 Июл '14 1:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru