Найдите все натуральные n и различные целые пары (x,y) в которых верно равенство x+x^2+x^4+...+x^2^n=y+y^2+y^4+...+y^2^n

задан 16 Июл '14 7:53

изменен 16 Июл '14 10:58

Deleted's gravatar image


126

@samir, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(16 Июл '14 10:58) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%n=1$% получается $%x+x^2=y+y^2$%, то есть $%x-y+x^2-y^2=(x-y)(x+y+1)=0$%. Если $%x\ne y$%, то $%x+y+1=0$%, то есть подходят все пары вида $%(x;-x-1)$%, где $%x$% целое.

Пусть $%n\ge2$%. Запишем уравнение в виде $%x-y+x^2-y^2+x^4-y^4+\cdots+x^{2^n}-y^{2^n}=0$%. В предположении $%x\ne y$%, разделим на $%x-y\ne0$%. Получится $%1+(x+y)P=0$%, где $%P=1+(x^2+y^2)+\cdots+(x^{2^n-2}+x^{2^n-4}y^2+\cdots+x^2y^{2^n-4}+y^{2^n-2})$%.

Ясно, что $%P\ge1$%, так как остальные слагаемые состоят из степеней с чётными показателями. При этом $%P$% является целочисленным делителем единицы, откуда следует $%P=1$%. Но это возможно только при условии, что все оставшиеся слагаемые у выражения $%P$% нулевые, то есть $%x=y=0$%. Числа $%x,y$% оказываются равными, то есть при $%n\ge2$% других решений нет.

ссылка

отвечен 16 Июл '14 8:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

Насколько я понимаю, интересует случай, когда $%x\neq y$%, иначе равенство превращается в тождество при любых $%n$%.

Рассмотрим $%f(t)=t+t^2+\ldots +t^{2^n}$%. Из вида производной ясно, что на промежутке $%[0;+\infty)$% функция возрастает, а на $%(-\infty;-1]$% - убывает. Поэтому решением является пара $%(x;y)$%, где одно из чисел находится на одном промежутке, а второе - на другом.

Пусть $%t_0\geqslant 0$%, тогда $%f(-t_0)=f(t_0)-2t_0$%. Кроме того, из условия $%(t_0+1)^2\geqslant 1+2t_0$% следует, что $%f(t_0+1)\geqslant f(t_0)+2+2t_0$%. Причем равенство возможно, только если $%n=1$%.

Но тогда $%f(-t_0-1)=f(t_0+1)-2-2t_0\geqslant f(t_0)$%. Если $%n>1$%, то неравенство строгое и ясно, что целых решений нет. (Т.к. $%f(t_0)$% находится между $%f(-t_0)$% и $%f(-t_0-1)$%.)

Таким образом, $%n=1$% и равенство $%f(-t_0-1)=f(t_0)$% означает, что $%-t_0-1+t_0^2+2t_0+1=t_0+t_0^2$%, а это верное тождество.

С учетом того, что решения симметричны относительно прямой $%y=x$%, то получаем ответ: $%(t_0;-t_0-1)$% для любого целого $%t_0$% при $%n=1$%.

ссылка

отвечен 16 Июл '14 8:53

изменен 16 Июл '14 9:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×590

задан
16 Июл '14 7:53

показан
847 раз

обновлен
16 Июл '14 10:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru