математика - Система степенных и логарифмических неравенств

Решим первое неравенство:

$%{16^{ - x - \frac{5}{4}}} - 3 \cdot {4^{ - x - \frac{3}{2}}} + 1 \geqslant 0$%

$%{4^{ - 2x - \frac{5}{2}}} - 3 \cdot {4^{ - x - \frac{3}{2}}} + 1 \geqslant 0$%

$%{4^{ - \frac{5}{2}}} \cdot {4^{ - 2x}} - 3 \cdot {4^{ - \frac{3}{2}}} \cdot {4^{ - x}} + 1 \geqslant 0$%

Замена: $%{4^{ - x}} = \frac{1}{{{4^x}}} = t \in (0;\infty )$%

$%(t - 8)(t - 4) \geqslant 0 \Leftrightarrow t \in (0;4] \cup [8;\infty )$%

Делаем обратную замену: $%{4^{ - x}} \leqslant 4$% или $%{4^{ - x}} \geqslant 8$% $% \Rightarrow $% $%x \in ( - \infty ; - \frac{3}{2}] \cup [ - 1;\infty )$%

Решим второе неравенство:

$%{\log _2}\frac{{7 + 5x - 2{x^2}}}{{3x + 2}} \leqslant 1$%

$%\begin{cases}\frac{{7 + 5x - 2{x^2}}}{{3x + 2}} > 0\\\frac{{7 + 5x - 2{x^2}}}{{3x + 2}} \leqslant 2\end{cases}$% $% \Leftrightarrow x \in [ - \frac{3}{2}; - 1) \cup [1;\frac{7}{2})$%

Обьединяя решения получаем:

Ответ: $%x \in \{ - \frac{3}{2}\} \cup [1;\frac{7}{2})$%