Решить систему уравнений для х и у, принадлежащих интервалу (0; pi/2): 1/((cosx)^3) + 1/((siny)^3) = 16 (tgx)^2 + (ctgy)^2 = 6

задан 18 Июл '14 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%a=\frac1{\cos x}$%, $%b=\frac1{\sin y}$%. Согласно условию, это положительные числа. Из первого уравнения $%a^3+b^3=16$%. Второе уравнение можно преобразовать как $%1+\tan^2x+1+\cot^2y=8$%, то есть получится $%a^2+b^2=8$%.

Полученная система имеет очевидное решение $%a=b=2$%. Покажем, что в положительных числах оно единственно (без такого ограничения есть ещё решения).

Положим $%p=a+b$%. Тогда $%2ab=p^2-8$% из второго уравнения. Первое уравнение даёт $%16=(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(8-ab)=p(12-\frac12p^2)$%, то есть $%p^3-24p+32=0$%. Делителем этого кубического многочлена является $%p-4$%, то есть имеет место разложение на множители $%(p-4)(p^2+4p-8)=0$%. В случае $%p=4$% всё ясно: здесь $%ab=4$%, что даёт $%a=b=2$%.

Если $%p$% является корнем квадратного уравнения, то $%p=2\sqrt3-2$% с учётом положительности. При этом $%ab=p^2-8=-4p < 0$%, что невозможно.

Таким образом, $%\cos x=\sin y=\frac12$%, то есть $%x=\frac{\pi}3$%, $%y=\frac{\pi}6$% -- единственное решение.

ссылка

отвечен 18 Июл '14 2:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,883

задан
18 Июл '14 1:14

показан
384 раза

обновлен
18 Июл '14 2:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru