уравнения - Тригонометрическое уравнение

Здесь, судя по всему, смешаны радианная и градусная мера угла. Я буду исходить из естественного предположения, что имеется в виду интервал $%(0;\frac{\pi}2)$%.

Уравнение имеет вид $%3\sin2x+2\cos2x=3$%; разделим обе части на $%\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$%. Получится $%\sin2x\frac3{\sqrt{13}}+\cos2x\frac2{\sqrt{13}}=\frac3{\sqrt{13}}$%. Пусть $%\varphi$% -- острый угол, для которого $%\cos\varphi=\frac3{\sqrt{13}}$% и $%\sin\varphi=\frac2{\sqrt{13}}$%. Тогда $%\sin(2x+\varphi)=\cos\varphi=\sin(\frac{\pi}2-\varphi)$%.

Синусы двух величин равны тогда и только тогда, когда разность этих величин кратна $%2\pi$% или их сумма равна $%\pi+2\pi k$%, где $%k$% целое.

Первый случай приводит к равенству $%2x+\varphi=\frac{\pi}2-\varphi+2\pi k$%, откуда $%x=\frac{\pi}4-\varphi+\pi k$%. Поскольку $%\cos\varphi > \sin\varphi$%, для углов из первой координатной четверти это означает, что $%\cos\varphi < \frac{\pi}4$%. С учётом условия $%x\in(0;\frac{\pi}2)$%, из этого следует, что $%x=\frac{\pi}4-\varphi$%.

Для второго случая имеет место равенство $%2x+\varphi+\frac{\pi}2-\varphi=\pi+2\pi k$%, откуда $%x=\frac{\pi}4+\pi k$%. Для углов из первой четверти это даёт $%x=\frac{\pi}4$%.

Таким образом, $%x_1=\frac{\pi}4-\varphi$% и $%x_2=\frac{\pi}4$%. Поскольку $%{\mathop{\rm tg}}\varphi=\frac23$%, отсюда следует, что $%{\mathop{\rm tg\,}}x_1={\mathop{\rm tg}}(\frac{\pi}4-\varphi)=\frac{1-{\mathop{\rm tg}}\varphi}{1+{\mathop{\rm tg}}\varphi}=\frac{1-2/3}{1+2/3}=\frac15$%, то есть $%x_2{\mathop{\,\rm tg}}x_1=\frac{\pi}{20}$%.