Дана прямая призма, в основании которой находится квадрат со стороной 1. Высота призмы равна sqrt(3). Найти расстояние между большей диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

задан 19 Июл '14 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь напрашивается применение координатного метода.

Выберем систему координат так, чтобы большая диагональ соединяла начало координат с точкой $%(1;1;\sqrt3)$%, а скрещивающаяся с ней диагональ боковой грани лежала в плоскости $%Oxz$% и имела уравнение $%z=-\sqrt3(x-1)$%.

Достаточно найти положение общего перпендикуляра $%AB$%, где $%A(t;t;t\sqrt3)$% -- точка на большой диагонали, а $%B(x;0;\sqrt3(1-x))$% -- точка на диагонали боковой грани. Вектор $%\vec{AB}$% имеет координаты $%(x-t;-t;\sqrt3(1-x-t))$%, и он перпендикулярен векторам $%(1;1;\sqrt3)$% и $%(1;0;-\sqrt3)$% (это направляющие векторы двух скрещивающихся прямых).

Приравнивая к нулю скалярные произведения, получаем систему из двух уравнений: $%x-t-t+3-3x-3t=0$% и $%x-t-3+3x+3t=0$%. После упрощений получается $%2x+5t=3$% и $%4x+2t=3$%. Решая методом исключения неизвестных, получаем $%t=\frac38$% и $%x=\frac9{16}$%. Таким образом, координаты вектора $%\vec{AB}$% равны $%(\frac3{16};-\frac38;\frac{\sqrt3}{16})$%, а его длина равна $%\frac1{16}\sqrt{9+36+3}=\frac{\sqrt3}4$%. Это и есть искомое расстояние.

Задачу можно решить и чисто геометрическим способом, но здесь можно ничего не рисовать и не строить, а вычисления достаточно несложные.

ссылка

отвечен 19 Июл '14 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×409

задан
19 Июл '14 21:13

показан
436 раз

обновлен
19 Июл '14 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru