стереометрия - Найти расстояние между скрешивающимися прямыми

Здесь напрашивается применение координатного метода.

Выберем систему координат так, чтобы большая диагональ соединяла начало координат с точкой $%(1;1;\sqrt3)$%, а скрещивающаяся с ней диагональ боковой грани лежала в плоскости $%Oxz$% и имела уравнение $%z=-\sqrt3(x-1)$%.

Достаточно найти положение общего перпендикуляра $%AB$%, где $%A(t;t;t\sqrt3)$% -- точка на большой диагонали, а $%B(x;0;\sqrt3(1-x))$% -- точка на диагонали боковой грани. Вектор $%\vec{AB}$% имеет координаты $%(x-t;-t;\sqrt3(1-x-t))$%, и он перпендикулярен векторам $%(1;1;\sqrt3)$% и $%(1;0;-\sqrt3)$% (это направляющие векторы двух скрещивающихся прямых).

Приравнивая к нулю скалярные произведения, получаем систему из двух уравнений: $%x-t-t+3-3x-3t=0$% и $%x-t-3+3x+3t=0$%. После упрощений получается $%2x+5t=3$% и $%4x+2t=3$%. Решая методом исключения неизвестных, получаем $%t=\frac38$% и $%x=\frac9{16}$%. Таким образом, координаты вектора $%\vec{AB}$% равны $%(\frac3{16};-\frac38;\frac{\sqrt3}{16})$%, а его длина равна $%\frac1{16}\sqrt{9+36+3}=\frac{\sqrt3}4$%. Это и есть искомое расстояние.

Задачу можно решить и чисто геометрическим способом, но здесь можно ничего не рисовать и не строить, а вычисления достаточно несложные.