Найти область значений хотя бы для одной функции, если f(x,y) = sqrt(-6(x)^2 – 16xy + 11(y)^2 + 5) + y ; g(x,y) =- sqrt(-6(x)^2 – 16xy + 11(y)^2 + 5) + y

задан 19 Июл '14 23:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

В обоих случаях множеством значений функции является вся числовая прямая.

Рассмотрим произвольное $%y$%, и подберём такое $%x$%, для которого $%6x^2+16xy-11y^2=0$%. Ясно, что это уравнение имеет корни относительно $%x$%. Их нетрудно указать явно.

Беря в качестве $%x$% один из таких корней, мы получаем функцию вида $%\pm\sqrt5+y$%, у которой множеством значений является $%\mathbb R$%.

Добавление. Рассмотрим изменённый вариант условия -- для функции $%f(x,y)=\sqrt{-6x^2 –16xy-11y^2+5}+y$%. Стратегия такова: зафиксируем $%y$%, и для каждого такого числа найдём множество значений функции, зависящей от $%x$% (там, где последняя определена).

Прежде всего, выделим полный квадрат по переменной $%x$%. Тогда подкоренное выражение примет вид $%5-\frac{y^2}3-6(x+\frac43y)^2$%. Будучи неотрицательным, оно принимает все значения из отрезка $%[0;5-\frac{y^2}3]$%, и это происходит для каждого $%y\in[-\sqrt{15};\sqrt{15}]$% -- для остальных $%y$% функция от $%x$% имеет пустую область определения. Таким образом, для этих $%y$% имеет место неравенство $%y\le f(x,y)\le y+\sqrt{5-\frac{y^2}3}$%, где "крайние" значения достигаются, и достаточно найти минимальное значение для одной функции и максимальное для другой.

Понятно, что минимальным значением функции $%y$% будет $%-\sqrt{15}$%, а для функции $%h(y)=y+\sqrt{5-\frac{y^2}3}$% находим наибольшее значение при помощи производной. Критическая точка $%y=3\sqrt{5-\frac{y^2}3}\ge0$% удовлетворяет условию $%y^2=\frac{45}4$% (стандартные вычисления я опускаю), точка $%y=\frac32\sqrt5$% принадлежит отрезку, и значение функции в ней равно $%2\sqrt5$%. Оно и является наибольшим.

Итоговый ответ: $%[-\sqrt{15};2\sqrt5]$%.

ссылка

отвечен 20 Июл '14 0:10

изменен 20 Июл '14 23:05

@falcao: Извините, пожалуйста, но в условии задачи существенная ошибка, т.к. неправильно было списано условие задачи. Верное условие следующее: Найти область значений хотя бы для одной функции, если f(x,y) = sqrt(-6(x)^2 – 16xy - 11(y)^2 + 5) + y ; g(x,y) =- sqrt(-6(x)^2 – 16xy - 11(y)^2 + 5) + y. Т.е. перед 11(у)^2 должен стоять знак минус. И тогда предложенное Вами решение не подходит, т.к. выражение (6(x)^2 + 16xy + 11(y)^2 никогда нулю не равно. Еще раз извините за ошибку, но мне такое условие передали. Заранее благодарен, если Вы поможете с решением.

(20 Июл '14 18:23) serg55
1

@serg55: в таком виде задача становится менее тривиальной, но она тоже решается при помощи стандартных методов. Я сейчас напишу про это в Добавлении.

(20 Июл '14 22:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,715

задан
19 Июл '14 23:06

показан
788 раз

обновлен
20 Июл '14 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru