Найдите, при каких значениях параметра а неравенство (а-1)х²+(2а-3)х-2+а>1 выполняется хотя бы при одном х<1

задан 20 Июл '14 22:05

Если выражение (а-1)х²+(2а-3)х-2+а принять равным нулю, то корни такого квадратного уравнения получатся: х1=(1-а)/(а-1) и х2=(2-а)/(а-1)

Тогда неравенство можно записать, как (а-1)(х-(1-а)/(а-1))(х-(2-а)/(а-1))>1

Но что это даст? Помотите пожалуйста!

(20 Июл '14 22:20) Влад5470

Вообще-то неравенства так не записывают(где в левой и правой части есть подобные члены минус два и один).Ни разу не видел

(20 Июл '14 22:39) epimkin

Это реальная задача по математике, переписанная слово в слово. Причём методом подбора получается: при х=0,999 а>1,75 при х=0,8 а>1,8642 при х=0,5 а>2,1111 при х=0 а>3

Я не совсем понимаю, что требуется. Может быть нужно самому взять любой х<0 и для него решить?

(20 Июл '14 22:46) Влад5470

@Влад5470: если рассматривать уравнение, то надо всё перенести в левую часть. Тогда это даст какую-то информацию. Но лучше делать по-другому. В принципе, можно зафиксировать какое-то $%x < 1$% и посмотреть, что при этом происходит. На таком пути решение получить можно. Но лучше решать более стандартным способом, используя свойства квадратных трёхчленов и их графиков.

(21 Июл '14 0:00) falcao

Ну вот, я в предыдущем своём комментарии и показал, что происходит при некоторых х<1. Но как из этого сформировать ответ? Помогите!

(21 Июл '14 0:42) Влад5470
10|600 символов нужно символов осталось
0

Наиболее стандартный способ решения видится таким. Прежде всего, если $%a > 1$%, то получается парабола, у которой ветви направлены вверх. Тогда значения квадратного трёхчлена на луче $%x\in(-\infty;1)$% могут быть сколь угодно большими. Понятно, что все такие $%a$% подходят.

Далее, при $%a=1$% получится линейная функция $%-x-1$%, и она тоже принимает значения, большие единицы, что очевидно. Таим образом, все $%a\ge1$% подходят.

Исследуем случай $%a < 1$%. Здесь ветви параболы направлены вниз. В таких случаях имеет смысл рассмотреть вершину параболы. Для удобства запишем неравенство в виде $%(1-a)x^2+(3-2a)x+3-a < 0$%. Нас интересует, выполняется ли оно хотя бы при одном $%x < 1$%.

Ветви параболы теперь направлены вверх ввиду $%1-a > 0$%. Абсцисса вершины равна $%x_0=-\frac{3-2a}{2(1-a)}$%; её надо сравнить с единицей. Рассмотрим разность $%1-x_0=1+\frac{3-2a}{2-2a}=\frac{5-4a}{2-2a}$%. Эта дробь положительна при всех $%a < 1$%, то есть $%x_0 < 1$%. Поэтому наименьшее значение квадратичной функции $%y(x)=(1-a)x^2+(3-2a)x+3-a$% на луче будет приниматься в точке $%x_0$%, и останется проверить, при каких $%a$% оно отрицательно.

Простые вычисления показывают, что $%y(x_0)=\frac{3-4a}{4(1-a)}$%. Знаменатель положителен, поэтому получается неравенство $%3-4a < 0$%, то есть $%a > \frac34$%. Все такие $%a$%, меньшие единицы, тоже подходят, поэтому окончательно имеем $%a\in(\frac34;+\infty)$%.

Другой подход мог быть таким. Фиксируем какое-то $%x < 1$% и разрешаем неравенство относительно $%a$%. Получается $%a(x^2+2x+1) > x^2+3x+3$%. Легко понять, что $%x\ne-1$%, так как в противном случае получается неверное неравенство $%0 > -1$%. Но тогда коэффициент при $%a$%, равный $%(x+1)^2$%, положителен, и на него можно поделить, получая неравенство $%a > \frac{x^2+3x+3}{x^2+2x+1}=1+\frac1{x+1}+\frac1{(x+1)^2}$%.

Функцию в левой части надо исследовать на наименьшее значение. Удобно сделать замену $%t=x+1$%, и нас интересует функция $%1+t^{-1}+t^{-2}$% на множестве $%t\in(-\infty;0)\cup(0;2)$%. При помощи производной можно изучить поведение функции на каждом из двух промежутков, и окажется, что наименьшее значение достигается при $%t=-2$%, и оно равно $%\frac34$%. Поэтому интересующее нас неравенство выполнено при $%a > \frac34$% (можно просто положить $%x=-3$%), и только при таких значениях.

ссылка

отвечен 21 Июл '14 0:23

Спасибо!!!

(21 Июл '14 0:45) Влад5470

Но ведь при всех значениях -3<Х<1 и при а чуть больше 3/4 неравенство не выполняется, там получается, а должно быть гораздо больше 3/4.

(21 Июл '14 1:05) Влад5470

@Влад5470: неравенство не обязано выполняться при всех таких $%x$%. В условии сказано "хотя бы при одном". Поэтому, если я выбираю "лучшее" значение $%x$%, которым оказалось $%x=-3$%, то я получаю то, что надо.

(21 Июл '14 1:27) falcao

Да, я понял, спасибо Вам огромное!!!

(21 Июл '14 1:51) Влад5470

Тогда правильнее будет А≥0,75, а не А>0,75 , т.к. при А=0,75 как раз Х и принимает единственное значение -3. Я прав?

(21 Июл '14 2:02) Влад5470

Нет, $%a=\frac34$% нам не подходит, потому что в условии требуется выполнение строгого неравенства. А при самом "лучшем" значении $%x=-3$% оно выполняться не будет.

Я для ясности могу ещё такое замечание сделать. У нас имеется неравенство $%a > \frac{x^2+3x+3}{x^2+2x+1}\ge\frac34$%. Если первое неравенство верно при каком-то $%x < 1$%, то отсюда следует, что $%a$% строго больше 3/4. И обратно: если верно неравенство $%a > \frac34$%, то выбираем $%x=-3$%.

(21 Июл '14 2:16) falcao

Да, я понял свою ошибку. Вы совершенно правы. Хорошо, что есть ещё такие люди, разбирающиеся в математике и любящие её. Спасибо!!!

(21 Июл '14 2:19) Влад5470

@Влад5470: у меня есть ещё одно замечание, которое упрощает второй из способов решения. Когда мы находим наименьшее значение выражения $%1+t^{-1}+t^{-2}$%, то можно не использовать производную, а просто заметить, что оно равно $%(t^{-1}+\frac12)^2+\frac34$%, и наименьшее значение $%\frac34$% будет достигаться при $%t^{-1}=-\frac12$%, то есть при $%x=-3$%. Так оно выглядит проще.

(21 Июл '14 2:26) falcao

Спасибо огромное ещё раз! Прошу Вас посмотреть ещё один мой вопрос по ссылке: math.hashcode.ru/questions/41832/

(21 Июл '14 2:31) Влад5470
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%(а-1)х²+(2а-3)х-2+а>1\Leftrightarrow (a-1)x^2+(2a-3)x+a-3>0$%

  • При $%а>1$%, ветви параболи $%y=(a-1)x^2+(2a-3)x+a-3$% направлены вверх $$\lim_{x\to-\infty}y=+\infty,$$ следовательно существуют бесконечно много отрицательные значения переменной $%x,$% для которых $%y>0.$% Значения $%а>1$% входят в ответ.
  • При $%а=1, \ \ \ (a-1)x^2+(2a-3)x+a-3>0 \Leftrightarrow -x-2>0 \Leftrightarrow x<-2.$%Значение $%а=1$% тоже входит в ответ.
  • При $%а<1,$% ветви параболы направлены вниз.$% \ \ \ D=(2a-3)^2-4(a-1)(a-3)=4a-3.$% Ясно, что при $%D\le0,$% кв. функция не принимает положилтельные значение. Остается рассмотреть значения $% \frac 34 < a < 1,$% тогда $%y(1)=4a-7<0.$% Надо требовать, чтобы абсцисса вершины $%x_0=-\frac{2a-3}{2(a-1)} $% была левее чем $%1.$% И так

$%\begin{cases}-\frac{2a-3}{2(a-1)}<1\\ \frac 34 < a < 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-(2a-3)> 2(a-1)\\ \frac 34 < a < 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a < \frac 54\\ \frac 34 < a < 1\end{cases} \Leftrightarrow \frac 34 < a < 1$%

И так $%a \in( \frac 34;\infty).$%

ссылка

отвечен 21 Июл '14 13:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×297

задан
20 Июл '14 22:05

показан
2355 раз

обновлен
21 Июл '14 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru