неравенство - Значение параметра в неравенстве

Наиболее стандартный способ решения видится таким. Прежде всего, если $%a > 1$%, то получается парабола, у которой ветви направлены вверх. Тогда значения квадратного трёхчлена на луче $%x\in(-\infty;1)$% могут быть сколь угодно большими. Понятно, что все такие $%a$% подходят.

Далее, при $%a=1$% получится линейная функция $%-x-1$%, и она тоже принимает значения, большие единицы, что очевидно. Таим образом, все $%a\ge1$% подходят.

Исследуем случай $%a < 1$%. Здесь ветви параболы направлены вниз. В таких случаях имеет смысл рассмотреть вершину параболы. Для удобства запишем неравенство в виде $%(1-a)x^2+(3-2a)x+3-a < 0$%. Нас интересует, выполняется ли оно хотя бы при одном $%x < 1$%.

Ветви параболы теперь направлены вверх ввиду $%1-a > 0$%. Абсцисса вершины равна $%x_0=-\frac{3-2a}{2(1-a)}$%; её надо сравнить с единицей. Рассмотрим разность $%1-x_0=1+\frac{3-2a}{2-2a}=\frac{5-4a}{2-2a}$%. Эта дробь положительна при всех $%a < 1$%, то есть $%x_0 < 1$%. Поэтому наименьшее значение квадратичной функции $%y(x)=(1-a)x^2+(3-2a)x+3-a$% на луче будет приниматься в точке $%x_0$%, и останется проверить, при каких $%a$% оно отрицательно.

Простые вычисления показывают, что $%y(x_0)=\frac{3-4a}{4(1-a)}$%. Знаменатель положителен, поэтому получается неравенство $%3-4a < 0$%, то есть $%a > \frac34$%. Все такие $%a$%, меньшие единицы, тоже подходят, поэтому окончательно имеем $%a\in(\frac34;+\infty)$%.

Другой подход мог быть таким. Фиксируем какое-то $%x < 1$% и разрешаем неравенство относительно $%a$%. Получается $%a(x^2+2x+1) > x^2+3x+3$%. Легко понять, что $%x\ne-1$%, так как в противном случае получается неверное неравенство $%0 > -1$%. Но тогда коэффициент при $%a$%, равный $%(x+1)^2$%, положителен, и на него можно поделить, получая неравенство $%a > \frac{x^2+3x+3}{x^2+2x+1}=1+\frac1{x+1}+\frac1{(x+1)^2}$%.

Функцию в левой части надо исследовать на наименьшее значение. Удобно сделать замену $%t=x+1$%, и нас интересует функция $%1+t^{-1}+t^{-2}$% на множестве $%t\in(-\infty;0)\cup(0;2)$%. При помощи производной можно изучить поведение функции на каждом из двух промежутков, и окажется, что наименьшее значение достигается при $%t=-2$%, и оно равно $%\frac34$%. Поэтому интересующее нас неравенство выполнено при $%a > \frac34$% (можно просто положить $%x=-3$%), и только при таких значениях.