тригонометрия - Тригонометрическое уравнение

Пусть $%\varphi=\arctan3x=\arccos8x$%. Тогда $%8x\in[-1;1]$% и $%\varphi\in(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)\cap[0;\pi]$%. При этом $%\tan\varphi=3x$% и $%\cos\varphi=8x$%.

Используя тождество $%1+\tan^2\varphi=\frac1{\cos^2\varphi}$%, связывающее тангенс и косинус, имеем $%1+9x^2=\frac1{64x^2}$%. Решая квадратное уравнение относительно $%x^2$%, находим его положительный корень $%x^2=\frac1{72}$%. Второй корень не подходит ввиду отрицательности.

Поскольку $%\varphi\in[0;\frac{\pi}2)$%, число $%x$% должно быть неотрицательно, откуда $%x=\frac1{6\sqrt2}$%. Это значение подходит, так как $%x < \frac18$%. Уравнение имеет единственное решение.