Найти все такие непрерывные функции $%f(x):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$%, что для любых действительных $%a,b$% $% f(a)+f(b)=f(a+b)$%.

задан 21 Июл '14 21:25

изменен 5 Янв '15 19:19

EdwardTurJ's gravatar image


5041135

Если добавить условие непрерывности функции, то нетрудно доказать, что кроме линейных (вида $%f(x)=kx$%) функций ничего другого нет. Если же речь о произвольных функциях, то их очень много, но построение является неявным, через так называемый базис Гамеля. Эта конструкция является чисто теоретико-множественной.

(21 Июл '14 22:37) falcao

@student: Вы подразумевали функцию непрерывной? Для этого случая @ASailyan всё изложила. Если Вас интересуют все такие функции, считая "дикие", то можно добавить ещё несколько слов, но это уже математика как бы не совсем "школьная".

(22 Июл '14 10:23) falcao

@falcao: да, непрерывной. Сейчас добавлю это в условие.

(22 Июл '14 10:26) student

Достаточно требовать непрерывность в одной точке, скажем в точке "0".

(22 Июл '14 10:57) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%f(0)+f(0)=f(0) \Rightarrow f(0)=0.$% По методу мат. индукции легко доказать, что $%f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=f(x_1 +x_2+...+x_n). \ \ \ \ \ (а)$%

Обозначим $%f(1)=k.$% Тогда 2 силу формулы (а) $% f(x)=kx, $% при $% x\in N.$%

Очевидно, что $% \ \ nf(\frac 1n)=f(1)=k (n\in N) \Rightarrow f(\frac1n)= k\cdot \frac1n, (n\in N).$%

$%f(x)+f(-x)=f(0)=0 \Rightarrow f(-x)=-f(x), \forall x\in R \Rightarrow $% функция нечетное.

Пусть $%m,n \in N,$% тогда $%f(\frac mn)=f(m\cdot \frac1n)=mf(\frac1n)=\frac mn \cdot k.$%

В силу всего доказанного можно утверждать, что $%f(x)=kx, $% для всех рациональных чисел. Очень просто доказать эту формулу и для ирациональных чисел, но необходима еще одно условие непрерывность.

ссылка

отвечен 21 Июл '14 22:31

изменен 21 Июл '14 22:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×68

задан
21 Июл '14 21:25

показан
329 раз

обновлен
5 Янв '15 19:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru