тригонометрия - Тригонометрическое уравнение

Знаменатель дроби в левой части равен $%2\sin x\cos x-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x(2\cos^2x-1)}{\cos x}=\frac{\sin x\cos2x}{\cos x}$%. После домножения обеих частей уравнения на эту величину получается $%\cos2x+\cos x=\frac{2\sin x\cos x}{\cos2x}\cdot\frac{\sin x\cos2x}{\cos x}=2\sin^2x$%. Это уравнение сводится к квадратному относительно $%y=\cos x$%, в результате чего получается $%2y^2-1+y=2-2y^2$%, и квадратное уравнение $%4y^2+y-3=0$% имеет корни $%y=-1$% и $%y=\frac34$%.

Поскольку мы использовали не равносильные преобразования, необходима проверка. Ясно, что $%\cos x=-1$% не походит, так как при этом $%\sin x=0$%, и знаменатель дроби в левой части обращается в ноль. Также легко видеть, что значения $%x$%, для которых $%\cos x=\frac34$%, подходят: при этом $%\cos2x=\frac18$%, и тогда оба тангенса определены, а знаменатель дроби в левой части нулю не равен, так как мы на него домножали, получая $%\cos2x+\cos x\ne0$%.

В итоге $%x=\pm\arccos\frac34+2\pi k$%, где $%k\in\mathbb Z$%.