тригонометрия - Решить тригонометрическое уравнение

Возведём уравнение в квадрат, добавляя неравенство $%\cos x\ge3\sin x$%. Получится равносильная система.

В уравнении выразим квадраты косинуса и синуса через косинус двойного угла. После упрощений это даст $%\cos2x+\sin2x=0$%. Остаётся выразить $%x=\frac{3\pi}8+\frac{\pi k}2$%, где $%k\in\mathbb Z$%, и отобрать те значения, которые удовлетворяют неравенству.

Всего на отрезке длиной в период $%2\pi$% имеется четыре корня уравнения. У тех из них, которые отличаются на $%\pi$%, отличаются знаки косинуса и синуса, поэтому одно из этих значений подойдёт, а второе не подойдёт. Поэтому достаточно сделать две проверки.

Для угла $%x=\frac{3\pi}8$% косинус и синус положительны, причём синус больше косинуса. Это значение не походит, то есть подходит "противоположное": $%x=\frac{11\pi}8$%. Для $%x=\frac{7\pi}8$% косинус отрицателен, а синус положителен. Поэтому оно тоже не подходит, а подходит $%x=\frac{15\pi}8$%.

Остаётся записать в ответе две серии решений с периодом $%2\pi$%. Можно взять вместо указанных значений другие, а именно $%x=-\frac{\pi}8+2\pi k$% и $%x=-\frac{5\pi}8+2\pi k$%.