|
Найти наименьшее натуральное n, при котором выполняется равенство $$\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})-\cos 25^{\circ}=0$$ задан 22 Июл '14 10:16 
student |
|
Применим несколько раз формулу $%\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$%. Для первых двух слагаемых получится $%2\sin(n^{\circ}+20^{\circ})\cos60^{\circ}=\sin(n^{\circ}+20^{\circ})$%. Прибавляя таким же образом следующее слагаемое, мы получим, что сумма первых трёх слагаемых равняется $%2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos25^{\circ}$%. Ясно, что $%\cos25^{\circ}\ne0$%, откуда получается уравнение $%\sin(n^{\circ}+45^{\circ})=\frac12$%, равносильное исходному. Из определения синуса очевидно, что наименьшими положительными значениями углов, для которых синус принимает значение $%\frac12$%, будут 30 и 150 градусов, но первое значение нам не подходит, и тогда получается, что $%n=105$%. отвечен 22 Июл '14 10:39 
falcao |