Найти наименьшее натуральное n, при котором выполняется равенство $$\sin(n^{\circ}+80^{\circ})+\sin(n^{\circ}-40^{\circ})+\sin(n^{\circ}+70^{\circ})-\cos 25^{\circ}=0$$

задан 22 Июл '14 10:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим несколько раз формулу $%\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$%.

Для первых двух слагаемых получится $%2\sin(n^{\circ}+20^{\circ})\cos60^{\circ}=\sin(n^{\circ}+20^{\circ})$%. Прибавляя таким же образом следующее слагаемое, мы получим, что сумма первых трёх слагаемых равняется $%2\sin(n^{\circ}+45^{\circ})\cos25^{\circ}$%.

Ясно, что $%\cos25^{\circ}\ne0$%, откуда получается уравнение $%\sin(n^{\circ}+45^{\circ})=\frac12$%, равносильное исходному. Из определения синуса очевидно, что наименьшими положительными значениями углов, для которых синус принимает значение $%\frac12$%, будут 30 и 150 градусов, но первое значение нам не подходит, и тогда получается, что $%n=105$%.

ссылка

отвечен 22 Июл '14 10:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×69

задан
22 Июл '14 10:16

показан
2069 раз

обновлен
22 Июл '14 10:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru