|
Можно ли найти косинус и синус угла в 36 градусов? задан 22 Июл '14 10:30 
student |
|
Да, можно. Для этой цели можно использовать правильный пятиугольник, или равнобедренный прямоугольный треугольник с углом 36 градусов при вершине. В первом случае проводим две диагонали правильного пятиугольника, пересекающиеся во внутренней точке. Сторону принимаем за $%1$%, а диагональ за $%x$%. У нас возникает ромб со стороной $%1$%, а также равнобедренный треугольник с боковой стороной $%x-1$% и основанием $%1$%. Он подобен "половинке" ромба, где боковая сторона равна $%1$% и основание равно $%x$%. Получается пропорция $%\frac{x-1}1=\frac1x$%, из которой $%x=\frac{1+\sqrt5}2$% (т.н. "золотое сечение"). Способ нахождения диагонали правильного пятиугольника иногда используется сам по себе при решении тех или иных задач. Это эквивалентно нахождению косинуса $%36^{\circ}$%, так как угол при основании рассмотренных выше равнобедренных треугольников именно таков. Из этого следует, что $%\cos36^{\circ}=\frac{x}2=\frac{\sqrt5+1}4$%. Синус отсюда выражается, но там будет уже выражение типа "корень под корнем". Способ с треугольником выглядит похоже: там углы при основании равны $%72^{\circ}$%, и надо провести биссектрису одного из них, а затем "отследить" подобные треугольники. при этом можно также выразить синус и косинус угла в $%18^{\circ}$%. отвечен 22 Июл '14 10:57 
falcao |
|
Можно. $%\cos 72^{\circ}=\sin 18^{\circ}$%. Отсюда через двойной угол выразите $%\cos 72^{\circ}$% через $%\sin 18^{\circ}$%. Заменяя $%t=\sin 18^{\circ}$% получим уравнение $%8t^4-8t^2-t+1=0$%, откуда находим $%t$%. Корни этого уравнения $%1, -1/2,(-1\pm\sqrt 5)/4$%. Нам подходит только положительный, меньший единицы, то есть $%\sin 18^{\circ}=(\sqrt5-1)/4$%. Найти нужные значения уже не проблема: $%\cos 36^{\circ}=1-2\sin^218^{\circ}=(1+\sqrt5)/4$%, $%\sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\cos^2 36^{\circ}}$%. отвечен 22 Июл '14 10:50 
cartesius |