|
В треугольнике АВС известны сторон: (a,b,c). Окружность проходящая через точки А и С, пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности вписанной в треугольник АВС. Найти отрезок KL. задан 22 Июл '14 22:34 
Хачатур |
|
Четырёхугольник $%AKLC$% вписан в окружность, а также описан около окружности (вписанной в треугольник $%ABC$%). Из первого условия следует, что суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180 градусам. Поэтому угол $%BKL$% равен углу $%BCA$%, и треугольники $%BKL$%, $%BCA$% оказываются подобными по двум углам. Обозначим через $%k$% коэффициент подобия, то есть $%BK=k\cdot BC=ka$%; $%BL=k\cdot BA=kc$%; $%KL=k\cdot AC=kb$%. Заметим, что $%AK=AB-BK=c-ka$%, $%CL=CB-BL=a-kc$%. Теперь используем условие описанности. Оно означает, что суммы длин противоположных сторон равны, то есть $%AK+CL=AC+KL$%. Из формул, указанных выше, следует, что $%c-ka+a-kc=b+kb$%, откуда выражается $%k=\frac{a-b+c}{a+b+c}$%. Следовательно, $%KL=\frac{a-b+c}{a+b+c}\cdot b$%. отвечен 22 Июл '14 22:53 
falcao |
@Хачатур, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.