|
Домножим обе части уравнения на $%\sin2x\ne0$%. Получится $%8\sin x\cos2x=2\sin x\cos^2x-\sin x\sin2x$%. Поскольку $%\sin x\ne0$%, на синус можно сократить: $%8\cos2x=2\cos^2x-\sin2x$%. Далее выражаем квадрат косинуса через косинус двойного угла, что после упрощений даёт $%7\cos2x+\sin2x=1$%. Разделим обе части на $%5\sqrt2$%, вводя острый угол $%\alpha$%, для которого $%\cos\alpha=\frac7{5\sqrt2}$%, $%\sin\alpha=\frac1{5\sqrt2}$%. Это приводит к уравнению $%\cos(2x-\alpha)=\sin\alpha=\cos(\frac{\pi}2-\alpha)$%. Косинусы двух чисел равны $%\Leftrightarrow$% сумма или разность чисел кратна $%2\pi$%. В одном случае это даёт $%2x=\frac{\pi}2+2\pi k$%, где $%k\in\mathbb Z$%, причём ясно, что $%\sin2x\ne0$%. Во втором случае $%2x+\frac{\pi}2-2\alpha=2\pi k$%, и здесь также $%\sin2x=\sin(2\alpha-\frac{\pi}2)=-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha-1=-\frac{24}{25}\ne0$%. Таким образом, имеются две серии решений: $%x=\frac{\pi}4+\pi k$% и $%x=\alpha-\frac{\pi}4+\pi k$%, где $%\alpha=\arccos\frac7{5\sqrt2}=\arcsin\frac1{5\sqrt2}=\arctan\frac17$%. Ввиду того, что $%\tan(\frac{\pi}4-\alpha)=\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\frac{1-1/7}{1+1/7}=\frac34$%, вторую из серий можно записать в виде $%x=-\arctan\frac34+\pi k$%. Можно было бы решать и по-другому, деля обе части уравнения на $%\sin x\ne0$%, а затем выражая всё через котангенс. отвечен 26 Июл '14 11:45 
falcao |
|
$%8\sin x \cdot ctg 2x = \cos x-\sin x \Leftrightarrow 8\sin x \cdot \frac { cos 2x}{sin 2x} = \cos x-\sin x \Leftrightarrow$% $% \Leftrightarrow8\sin x \cdot \frac { cos^2 x-sin^2x}{2sin x cosx} = \cos x-\sin x \Leftrightarrow \begin{cases} 4(cos x-sinx)(cosx+sinx)= \cos x (\cos x-\sin x) \\sinx \ne0 \\cosx\ne0 \end{cases}\Leftrightarrow $% $%\Leftrightarrow \begin{cases} (cos x-sinx)(3cosx+4sinx)=0 \\sinx \ne0 \\cosx\ne0 \end{cases}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}tgx=1 \\ tgx=-\frac34 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow ...$% отвечен 26 Июл '14 11:51 
ASailyan |