Доказать, что если квадраты стороны треугольника составляют арифметическую прогрессию , то треугольник, сторонами которого служат медианы данного, подобен данному треугольнику.

задан 27 Июл '14 18:46

изменен 28 Июл '14 22:33

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%a\le b\le c$% стороны треугольника, и согласно условию $%2b^2=a^2+c^2.$%

Есть формулы (они легко выводятся), которые выражают длины медиан треугольника через стороны треугольника:

$%m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac12\sqrt{a^2+c^2+2c^2-a^2}=\frac12\sqrt{3c^2}=\frac{c\sqrt3}2.$%

$%m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\frac12\sqrt{4b^2-b^2}=\frac12\sqrt{3b^2}=\frac{b\sqrt3}2.$%

$%m_c=\frac12\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}=\frac12\sqrt{a^2+c^2+2a^2-c^2}=\frac12\sqrt{3a^2}=\frac{a\sqrt3}2.$%

И так $%\large \frac {m_a}c= \frac {m_b}b= \frac {m_c}a=\frac{\sqrt3}2. $%

А это значит, что согласно третьему признаку подобия треугольников треугольник со сторонами $%{m_a},{m_b},{m_c}$% подобен треугольнику со сторонами $%c,b,a$% .

ссылка

отвечен 27 Июл '14 21:08

изменен 27 Июл '14 21:10

Только что впервые заметил, что у Вас аватар Софи. Спасибо Вам за память о ней! Успехов Вам на математическом поприще!

(27 Июл '14 22:40) nikolaykruzh...

Да, @nikolaykruzh... не думала, что кто-то узнает, это молодая Софи Жермен. И Вам спасибо, что помните о ней, о женщине которая любила математику и свою короткую жизнь посвятила математике.

(27 Июл '14 23:03) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,370

задан
27 Июл '14 18:46

показан
397 раз

обновлен
27 Июл '14 23:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru