уравнение-с-параметром - Найдите все значения параметра

11(4).

Раскроем модуль

$%\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} \\x \geqslant 9a \\x = \frac{{2{a^2} + 18a - 35}}{3}\\a \in ( - \infty ; - \frac{5}{2}] \cup [7;\infty ) \\ \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} x < 9a \\ x = - 2{a^2} + 18a + 35 \\a \in ( - \infty ; - \frac{5}{2}) \cup (7;\infty )\\ \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$%

Изобразим решения на оси $%a$%

Очевидно что уравнение не имеет решений при $%a \in ( - \frac{5}{2};7)$%

Осталось выяснить при каких значениях параметра все решения уравнения принадлежат отрезку $%x \in [ - 30;63]$%.

Начертим функции $%f(a) = \frac{{2{a^2} + 18a - 35}}{3}$% и $%g(a) = - 2{a^2} + 18a + 35$% в системе $%AOX$% исключив область $%a \in ( - \frac{5}{2};7)$%

Согласно графику нужно исследовать две области значений параметра:

1. $%a = 7$%
2. $%\begin{cases}a \leqslant - \frac{5}{2}\\ - 2{a^2} + 18a + 35 \geqslant - 30\end{cases}$%

В итоге приходим к ответу: $%a \in [\frac{{9 - \sqrt {211} }}{2}; - \frac{5}{2}] \cup \{ 7\} $%

12*(4).

Запишем уравнение в таком виде: $%\left| {{x^2} + 4x - 5} \right| = \left| {x + a} \right| + 3a - 1$%

Положим $%f(x) = \left| {{x^2} + 4x - 5} \right|$% и $%g(x) = \left| {x + a} \right| + 3a - 1$%

Функция $%g(x)$% принадлежит к семейству уголков с вершиной расположенной на прямой $% - 3x - 1$%. Начертим обе функции и проанализируем возможность наличия трех пересечений.

Из рисунка видно что, три решения возможны когда:

1. Прямая $%x + 4a - 1$% касается $% - {x^2} - 4x + 5$%
2. Прямая $%x + 4a - 1$% в точке $%x = 1$% принимает нулевое значение

Зададим эти условия:

$%\left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} \\{x^2} + 5x + 4a - 6 = 0 \\D = 0\\ \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} x + 4a - 1 = 0 \\ x = 1 \\ \end{gathered} \right.\end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = \frac{{49}}{{16}} \cup a = 0$%