Вычислить:

  • $%\oint_{|z|=1} dz$%
  • $%\oint_{|z|=1} |dz|$%

У меня получилось в первом 0, а во втором $%2\pi$%.

задан 29 Июл '14 21:41

изменен 29 Июл '14 21:41

Второй пример выглядит несколько нестандартно. Что такое $%|dz|$%, и как понимать такой интеграл?

Ответ 0 в первом случае верный, причём это можно подсчитать напрямую, а можно вывести из общих фактов.

(29 Июл '14 21:55) falcao

@falcao: я понятия не имею. Единственное, преподаватель говорил что-то про векторы. Я представил $%dz = (z_{0} + dz)-z_{0}$% как разность векторов, а модуль вектора - это его длина. Получилась в сумме длина окружности.

(29 Июл '14 21:58) student

@falcao: и с такой конструкцией и в первом ноль получается, потому что векторы образуют замкнутую окружность

(29 Июл '14 22:00) student

@falcao: а |dz| аналитически я не знаю как понимать. Единственное, я где-то встречал определение пути $%S(t)=\int v(t) |dt|$%, то есть вся площадь под графиком без разделения на положительную/отрицательную.

(29 Июл '14 22:02) student

@student: если брать площадь без разделения на положительную и отрицательную, то это интеграл от модуля функции, то есть $%\int|f(t)|dt$%. Дифференциал под модулем выглядит странно.

(30 Июл '14 20:47) falcao

@falcao: да, это я "обманываю" насчет пути, видимо... Но всё-таки, может, есть литература какая-то, где это может разбираться?

(30 Июл '14 21:07) student

@student: мне не известны примеры использования интегралов в таком качестве. Скажем, $%\int|z|dz$% было бы вполне стандартно.

(30 Июл '14 21:18) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Выражение $%\int\limits_\gamma{f(z)}\,|dz|$% следует понимать как криволинейный интеграл первого рода от (комплекснозначной) функции $%f(z)$% вдоль кривой $%\gamma.$% В самом деле, поскольку $%dz=dx+i\ dy,$% то $%|dz|=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}.$% Если кривая $%\gamma$% имеет параметрическое представление $$\gamma=\{z=x+iy \, |\;\; x=\varphi(t),\; y=\psi(t),\;\; t\in[a,\,b] \},$$ то $$\int\limits_\gamma{f(z)}\,|dz|=\int\limits_\gamma{f(z)}\,dL_{\gamma}=\int\limits_{a}^{b}{f(z)}\sqrt{\left(\frac{d\varphi}{dt} \right)^2+\left(\frac{d\psi}{dt} \right)^2}\ dt,$$ получая, таким образом, криволинейный интеграл вдоль кривой $%\gamma.$% (Здесь $%dL_{\gamma}$% — дифференциал переменной длины дуги кривой $%\gamma.$%)
Касательно примера №2, то, записывая комплексное число $%z$% в показательной форме: $%z=re^{i\theta},$% получим $$dz = e^{i\theta} \, dr + i r e^{i\theta}\, d{\theta}.$$ На окружности $%|z|=1$% имеем $%dr=0;$% кроме того, $%|e^{i\theta}|=1,$% поэтому $$|dz|=r\, d{\theta}.$$ Добавление по поводу дополнительного вопроса:
Первый из интегралов $$\oint\limits_{|z|=1} z |dz|$$ легко вычисляется. Перейдем к показательной форме $%z=re^{i\theta}.$% На окружности $%|z|=1$% имеем $%|z|=r=1, \;\; dr=0, \;\; 0 \leqslant\theta< 2\pi. $% Поэтому $%|dz|=r\ d\theta, $% и тогда $$\oint\limits_{|z|=1} z\ |dz|=\int\limits_{0}^{2\pi}{e^{i\theta}\ d\theta}= \int\limits_{0}^{2\pi}{(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\ d\theta}=0$$ вследствие того, что и $%\sin,$% и $%\cos$% являются $%2\pi$%-периодическими функциями.
Второй интеграл $$\oint\limits_{|z|\leq 1} |dz|$$ вообще лишён смысла, поскольку интегрирование производится по плоской двумерной области (кругу) $%{|z|\leq 1}, $% а $%|dz|$% является дифференциалом длины линейной (т.е. одномерной) дуги. Кроме того, обозначение $%\oint$% используется для контурного интеграла (т.е. для интеграла вдоль замкнутой кривой).

ссылка

отвечен 31 Июл '14 0:12

изменен 31 Июл '14 17:06

@Mather: а если бы у нас было, например, $%\oint_{|z|=1} z |dz|$% или $%\oint_{|z|\leq 1} |dz| $%?

(31 Июл '14 15:13) student

Я дополнил ответ, поскольку слишком слишком большие комментарии не допускаются.

(31 Июл '14 17:01) Mather
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×496
×228

задан
29 Июл '14 21:41

показан
735 раз

обновлен
31 Июл '14 17:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru