комплексные-числа - Два интеграла по контуру

Выражение $%\int\limits_\gamma{f(z)}\,|dz|$% следует понимать как криволинейный интеграл первого рода от (комплекснозначной) функции $%f(z)$% вдоль кривой $%\gamma.$% В самом деле, поскольку $%dz=dx+i\ dy,$% то $%|dz|=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}.$% Если кривая $%\gamma$% имеет параметрическое представление $$\gamma=\{z=x+iy \, |\;\; x=\varphi(t),\; y=\psi(t),\;\; t\in[a,\,b] \},$$ то $$\int\limits_\gamma{f(z)}\,|dz|=\int\limits_\gamma{f(z)}\,dL_{\gamma}=\int\limits_{a}^{b}{f(z)}\sqrt{\left(\frac{d\varphi}{dt} \right)^2+\left(\frac{d\psi}{dt} \right)^2}\ dt,$$ получая, таким образом, криволинейный интеграл вдоль кривой $%\gamma.$% (Здесь $%dL_{\gamma}$% — дифференциал переменной длины дуги кривой $%\gamma.$%)
Касательно примера №2, то, записывая комплексное число $%z$% в показательной форме: $%z=re^{i\theta},$% получим $$dz = e^{i\theta} \, dr + i r e^{i\theta}\, d{\theta}.$$ На окружности $%|z|=1$% имеем $%dr=0;$% кроме того, $%|e^{i\theta}|=1,$% поэтому $$|dz|=r\, d{\theta}.$$ Добавление по поводу дополнительного вопроса:
Первый из интегралов $$\oint\limits_{|z|=1} z |dz|$$ легко вычисляется. Перейдем к показательной форме $%z=re^{i\theta}.$% На окружности $%|z|=1$% имеем $%|z|=r=1, \;\; dr=0, \;\; 0 \leqslant\theta< 2\pi. $% Поэтому $%|dz|=r\ d\theta, $% и тогда $$\oint\limits_{|z|=1} z\ |dz|=\int\limits_{0}^{2\pi}{e^{i\theta}\ d\theta}= \int\limits_{0}^{2\pi}{(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\ d\theta}=0$$ вследствие того, что и $%\sin,$% и $%\cos$% являются $%2\pi$%-периодическими функциями.
Второй интеграл $$\oint\limits_{|z|\leq 1} |dz|$$ вообще лишён смысла, поскольку интегрирование производится по плоской двумерной области (кругу) $%{|z|\leq 1}, $% а $%|dz|$% является дифференциалом длины линейной (т.е. одномерной) дуги. Кроме того, обозначение $%\oint$% используется для контурного интеграла (т.е. для интеграла вдоль замкнутой кривой).