Верно ли, что неравенство $%a^4+1\geq 2a^3$% верно при всех $%a\geq 1$%? Я сделал немного странным путем, положил $%a=1+da$%, где $%da$% - малое, $%(da)^2=0$%. В таком случае неравенство принимает вид $%(1+4da)+1\geq 2(1+3da)$% (все степени $%da$% в биноме Ньютона обнуляются), то есть $%4da\geq 6da$%, что неверно. Значит, "рядом" с единичкой - чуть больше - неравенство не является верным. Это нормальное рассуждение или нужно как-то строже решать?

задан 29 Июл '14 22:58

изменен 29 Июл '14 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Контрпример:

При $%a=1.5, \ \ a^4+1=6.0625,$% а $%2a^3=6.75,$% значит не верно.

ссылка

отвечен 29 Июл '14 23:17

@ASailyan: а что Вы можете сказать по поводу моей версии решения?

(29 Июл '14 23:18) student

Не понятны Ваши рассуждения. Что значит малое? Вообще если $%(da)^2=0$%, то $%da=0.$%

(29 Июл '14 23:34) ASailyan

@ASailyan: ну, это как dx при вычислении дифференциала dy = y(x+dx)-y(x). Ньютон ведь считал, что бесконечно малое - это число, квадрат которого можно принять за нуль.

(29 Июл '14 23:38) student

Кажется, пора призывать в обсуждение @falcao :)

(29 Июл '14 23:39) student

Если Вы доказываете неравенство, то не надо там что-то окуглять, или принять за нуль. Надо доказать четко. А если Вы оправергаете некоторое утверждение, тогда достаточно привести контрпример.

(30 Июл '14 0:01) ASailyan

@ASailyan: это и было сделано четко - четко опровергнуто. Мы ведь когда, например, вычисляем дифферецниалы $%d(sin x), d(cos x)$%, как было указано выше, мы ведь принимаем, например, $%sin dx = dx$%, и это у нас не примерно.

(30 Июл '14 0:04) student

@student, призывайте к обсуждению @falcao, как Вы предложили. Он всегда хорошо и подробно обьясняет.

(30 Июл '14 0:50) ASailyan

@student: из Вашего рассуждения следует, что неравенство нарушается в достаточно малой правой окрестности единицы. Надо только вместо приравнивая квадрата приращения к нулю считать, что он меньше, чем $%\varepsilon\cdot\Delta a$%. Использование бесконечно малых возможно в рамках нестандартного анализа, но при этом не получается явных оценок. Тут надо на языке неравенств рассуждать, как это принято.

(30 Июл '14 21:05) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%0 < а < 1,83928675519784$% значения $%a^4+1<2a^3$% , т.е. неравенство неверно.

Т.е. только при $%а ≥ 1,83928675519784$% неравенство верно, а при $%1 ≤ а < 1,83928675519784$% неверно.

ссылка

отвечен 29 Июл '14 23:35

изменен 31 Июл '14 20:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ваши рассуждения вполне верные и соответствуют стилю второй половины 17 века. Но для избежания случайных ошибок следует использовать принятые для таких случаев обороты речи: 1) "где da - ДОСТАТОЧНО малое", 2) "все степени da в биноме Ньютона ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛЫ" . Утверждать равенство нулю совем не обязательно. Просто слово "достаточно" означает, что мало настолько, что сумма всех членов высокой степени по модулю много меньше, чем член с первой степенью. Обнуление бесконечно малых использовал Лейбниц, но он хотя и создатель матанализа, а, все-таки, философ.

ссылка

отвечен 31 Июл '14 16:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×220

задан
29 Июл '14 22:58

показан
656 раз

обновлен
31 Июл '14 16:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru