Найти все периодические функции, что выполняется: $%f(x)-0.5f(x-\pi)=\sin x$%

задан 31 Июл '14 21:25

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть $%Т$% период функции $%f(x),$% тогда $%Т$% является периодом для сложной функции $%0.5f(x-\pi),$% следовательно $%Т$% будет периодом для разности $%f(x)-0.5f(x-\pi),$% то есть для функции $%sinx$%. Значит все периоды функции $%f(x)$% имеют вид $%2\pi k \ \ (k\in N).$%Заметим, что отсюда не следует, что $%2\pi$% является периодом функции $%f(x). $% Но если основной период $%T_0=2\pi ,$%

подставим в данное уравнение вместо $%x,$% выражение $%x-\pi,$% получим $$ f(x-\pi)-0,5f(x-2\pi)=sin(x-\pi)\Leftrightarrow f(x-\pi)-0,5f(x)=-sinx. $$ Получим систему линейных функциональных уравнений

$%\begin{cases} f(x)-0.5f(x-\pi)=\sin x \\ f(x-\pi)-0,5f(x)=-sinx\end{cases} ,$% отсюда $%f(x)=\frac23sinx.$%

Остается проверить случай когда $%Т_0=2\pi n, n\in N/\{1\}.$%

ссылка

отвечен 1 Авг '14 21:39

изменен 1 Авг '14 22:00

@ASailyan, У синуса множитель должен быть не $%0.5$%, а $%2/3$% ...

(1 Авг '14 21:51) all_exist

@all_exist,спасибо,Вы правы $%f(x)=\frac23 sinx $%

(1 Авг '14 21:59) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×504

задан
31 Июл '14 21:25

показан
362 раза

обновлен
1 Авг '14 22:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru