Найти все периодические функции

Пусть $%Т$% период функции $%f(x),$% тогда $%Т$% является периодом для сложной функции $%0.5f(x-\pi),$% следовательно $%Т$% будет периодом для разности $%f(x)-0.5f(x-\pi),$% то есть для функции $%sinx$%. Значит все периоды функции $%f(x)$% имеют вид $%2\pi k \ \ (k\in N).$%Заметим, что отсюда не следует, что $%2\pi$% является периодом функции $%f(x). $% Но если основной период $%T_0=2\pi ,$%

подставим в данное уравнение вместо $%x,$% выражение $%x-\pi,$% получим $$ f(x-\pi)-0,5f(x-2\pi)=sin(x-\pi)\Leftrightarrow f(x-\pi)-0,5f(x)=-sinx. $$ Получим систему линейных функциональных уравнений

$%\begin{cases} f(x)-0.5f(x-\pi)=\sin x \\ f(x-\pi)-0,5f(x)=-sinx\end{cases} ,$% отсюда $%f(x)=\frac23sinx.$%

Остается проверить случай когда $%Т_0=2\pi n, n\in N/\{1\}.$%