|
Здравствуйте, господа математики. Предположим также, что $$X = min (X_1 ,\ X_2)$$
где $%X_1$% и $%X_2$% случайные величины с идентичным распределением (например с точностью до неслучайного аддитивного сдвига), то $%X$% есть некоторое интегральное преобразование от этого распределения, то есть имеем систему уравнений, где количество неизвестных как бы "совпадает" с количеством уравнений $$F(X) = Q(F(X_1))$$ из этой системы, по идее можно найти $%F(X_1)$% Может кто-нибудь пояснить, почему $%X$% - это интегральное преобразование и что значит число переменных как бы "совпадает" с числом уравнений? И вообще, есть ли ещё способы найти $%X_1\ и\ X_2$% из, $$X = min(X_1,\ X_2)$$
если мне известны только пара сотен тысяч наблюдений $%X$%? P. S. ну или подскажите пожалуйста, где можно почитать то, что мне поможет С уважением, задан 2 Авг '14 10:48 
zhildemon |
|
Я рассмотрю случай общего вида. Пусть $%F(a)$% -- функция распределения случайных величин $%X_1$%, $%X_2$%, про которые будем считать, что они независимы. Обозначим через $%G(a)$% функцию распределения величины $%\min(X_1,X_2)$%. По определению, $%G(a)$% есть вероятность события $%\{X_1\le a\}\cup\{X_2\le a\}$%. Дополнением этого события будет $%\{X_1 > a\}\cap\{X_2 > a\}$%. Его вероятность, ввиду независимости случайных величин, равна $%P\{X_1 > a\}P\{X_2 > a\}=(1-F(a))(1-F(a))$%. Поэтому $%G(a)$% как вероятность дополнительного события равна $%1-(1-F(a))^2=2F(a)-F(a)^2$%. Полученная формула $%G(a)=2F(a)-F(a)^2$% позволяет найти распределение минимума двух независимых одинаково распределённых величин, если их распределение известно. Она же позволяет решить обратную задачу -- когда $%G(a)$% известна (скажем, из эмпирических данных), и требуется найти $%F(a)$%. Здесь надо решить квадратное уравнение, из которого $%1-F(a)=\sqrt{1-G(a)}$%, то есть $%F(a)$% легко выражается. отвечен 2 Авг '14 11:28 
falcao Элегантно, огромное спасибо
(2 Авг '14 11:38)
zhildemon
|
У Вас случайные величины являются дискретными, или можно исходить из предположения, что распределения абсолютно непрерывны (то есть имеют плотность)?
@falcao, дискретные
Тут, по идее, как бы уже не важно, потому что ответ дан в общей форме. По эмпирической функции распределения всё вычисляется.