Здравствуйте, господа математики.
У меня есть некоторые эмпирические данные. допустим, что эти измерения соответствуют некоторому распределению случайной величины $%X$%, (какому распределению неизвестно, но теоретически подобрать аппроксимацию можно).

Предположим также, что $$X = min (X_1 ,\ X_2)$$ где $%X_1$% и $%X_2$% случайные величины с идентичным распределением (например с точностью до неслучайного аддитивного сдвига), то $%X$% есть некоторое интегральное преобразование от этого распределения, то есть имеем систему уравнений, где количество неизвестных как бы "совпадает" с количеством уравнений $$F(X) = Q(F(X_1))$$ из этой системы, по идее можно найти $%F(X_1)$%
Примерно такое сообщение я получил от знакомого профессора, и теперь пытаюсь разобраться в этом, но гугл мне не помогает, а скорее путает, выдавая информацию по интегральным преобразованиям в целом или по функциональным преобразованиям случайных величин.

Может кто-нибудь пояснить, почему $%X$% - это интегральное преобразование и что значит число переменных как бы "совпадает" с числом уравнений? И вообще, есть ли ещё способы найти $%X_1\ и\ X_2$% из, $$X = min(X_1,\ X_2)$$ если мне известны только пара сотен тысяч наблюдений $%X$%?

P. S. ну или подскажите пожалуйста, где можно почитать то, что мне поможет

С уважением,
Дмитрий.

задан 2 Авг '14 10:48

У Вас случайные величины являются дискретными, или можно исходить из предположения, что распределения абсолютно непрерывны (то есть имеют плотность)?

(2 Авг '14 11:14) falcao

@falcao, дискретные

(2 Авг '14 13:16) zhildemon

Тут, по идее, как бы уже не важно, потому что ответ дан в общей форме. По эмпирической функции распределения всё вычисляется.

(2 Авг '14 13:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я рассмотрю случай общего вида.

Пусть $%F(a)$% -- функция распределения случайных величин $%X_1$%, $%X_2$%, про которые будем считать, что они независимы. Обозначим через $%G(a)$% функцию распределения величины $%\min(X_1,X_2)$%. По определению, $%G(a)$% есть вероятность события $%\{X_1\le a\}\cup\{X_2\le a\}$%. Дополнением этого события будет $%\{X_1 > a\}\cap\{X_2 > a\}$%. Его вероятность, ввиду независимости случайных величин, равна $%P\{X_1 > a\}P\{X_2 > a\}=(1-F(a))(1-F(a))$%. Поэтому $%G(a)$% как вероятность дополнительного события равна $%1-(1-F(a))^2=2F(a)-F(a)^2$%.

Полученная формула $%G(a)=2F(a)-F(a)^2$% позволяет найти распределение минимума двух независимых одинаково распределённых величин, если их распределение известно. Она же позволяет решить обратную задачу -- когда $%G(a)$% известна (скажем, из эмпирических данных), и требуется найти $%F(a)$%. Здесь надо решить квадратное уравнение, из которого $%1-F(a)=\sqrt{1-G(a)}$%, то есть $%F(a)$% легко выражается.

ссылка

отвечен 2 Авг '14 11:28

изменен 2 Авг '14 12:15

Элегантно, огромное спасибо

(2 Авг '14 11:38) zhildemon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×192

задан
2 Авг '14 10:48

показан
598 раз

обновлен
2 Авг '14 13:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru