|
Внутри равностороннего треугольника взята точка, расстояния от которой до вершин треугольника равны 3,4 и 5. Найти сторону треугольника. Сам пока не решил задан 2 Авг '14 16:32 
epimkin |
|
У меня получился ответ $%\sqrt{25+12\sqrt3}$%. Решение чисто вычислительное, я в общем виде подсчитал. Там одно биквадратное уравнение получается. Подробнее пока не могу - набираю текст с планшета. Добавление. Вот решение, которое у меня было. Пусть $%ABC$% -- треугольник; $%P$% -- точка с условиями $%PA=3$%, $%PB=4$%, $%PC=5$%. Обозначим через $%\varphi_1$% и $%\varphi_2$% величины углов $%PCA$% и $%PCB$% соответственно. Обозначая за $%x$% сторону правильного треугольника, по теореме косинусов выражаем $%\cos\varphi_1=\frac{x^2+16}{10x}$% и $%\cos\varphi_2=\frac{x^2+9}{10x}$%. Поскольку $%\varphi_1+\varphi_2=\frac{\pi}3$%, имеет место равенство $%\cos\varphi_1=\cos(\frac{\pi}3-\varphi_2)=\frac12\cos\varphi_2+\frac{\sqrt3}2\sin\varphi_2$%. Оставляя в правой части только синус и возводя в квадрат, имеем $%\cos^2\varphi_1+\frac14\cos^2\varphi_2-\cos\varphi_1\cos\varphi_2=\frac34\sin^2\varphi_2=\frac34(1-\cos^2\varphi_2)$%, что после упрощений превращается в равенство $%\cos^2\varphi_1+\cos^2\varphi_2-\cos\varphi_1\cos\varphi_2=\frac34$%. Теперь подставляем значения косинусов в это уравнение, получая $%(x^2+16)^2+(x^2+9)^2-(x^2+16)(x^2+9)=\frac34\cdot 100x^2$%. Возникает биквадратное уравнение $%x^4-50x^2+193=0$%, из которого $%x^2=25\pm12\sqrt3$%. Одно из значений отбрасывается, так как из неравенства треугольника легко выводится, что $%2x=AB+AC > PB+PC=9$%. Следовательно, $%x^2 > \frac{81}4 > 20$%, и поэтому знака "минус" перед корнем здесь быть не может. Таким образом, $%x=\sqrt{25+12\sqrt3}$%. отвечен 2 Авг '14 17:42 
falcao @falcao, у меня какие-то системы нехорошие получались или уравнения с радикалами. Обозначал через икс сторону и по теореме Герона искал площади. Мне кажется что-то геометрическое есть
(2 Авг '14 17:46)
epimkin
Думаю, что в частном случае, когда сумма квадратов двух чисел равна третьему, геометрическое решение должно быть. В общем случае - не знаю. Здесь один из углов внутри равен 150 градусам. У меня вычисления довольно несложные - через тригонометрию. Но с этого устройства мне очень трудно писать.
(2 Авг '14 18:00)
falcao
|
|
Поскольку в условии равносторонний треугольник, напрашивается поворот на $%60^\circ$%. Пусть исходный треугольник $%ABC$%, $%P$% — данная точка, $%PC = 3$%, $%PA = 4$%, $%PB = 5$%. Повернём треугольник $%ABC$% на $%60^\circ$% относительно вершины $%B$% так, чтобы вершина $%A$% попала в $%C$%, при этом образ $%C$% обозначим $%C'$%, а образ $%P$% — $%P'$%:
Поскольку треугольник $%BPP'$% равносторонний, то $%PP' = 5$%. Далее, $%CP' = AP = 4$%, значит, $%CPP'$% — египетский треугольник, поэтому $%\angle PCP' = 90^\circ$%. Немедленно получаем: $%\angle ACP + \angle P'CC' = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$%, $%\angle ACP + \angle CAP = 30^\circ$%, $%\angle APC = 150^\circ$%. Длина стороны $%AC$% теперь находится по теореме косинусов. Решение очевидным образом обобщается на произвольные длины $%PA$%, $%PB$%, $%PC$%. отвечен 26 Окт '14 13:05 
VladD |
