уравнение-с-параметром - Найдите все значения параметра ,без графического способа

По первой задаче: найдём те значения $%a$%, для которых решения есть. Возможны два случая: $%x\ge9a$% и $%x < 9a$%.

В первом случае получается уравнение $%3x=2a^2+18a-35$%, при этом правая часть равенства должна быть не меньше $%27a$%. Это приводит к неравенству $%2a^2-9a-35\ge0$%. Корнями квадратного уравнения являются числа $%7$% и $%-\frac52$%, откуда $%a\in[-\infty;-\frac52]\cup[7;+\infty)$%.

Во втором случае уравнение принимает вид $%x=-2a^2+18a+35$%, и правая часть должна быть меньше $%9a$%, что приводит к неравенству того же вида, что и выше: $%2a^2-9a-35 > 0$%. Таким образом, решений у исходного уравнения не имеется в точности при $%a\in(-\frac52;7)$%.

Теперь найдём условия, при которых все решения принадлежат отрезку $%x\in[-30;63]$%. Для первого из двух рассмотренных выше случаев получается условие $%3x\in[-90;189]$%, то есть система из двух неравенств: $%2a^2+18a+55\ge0$% и $%2a^2+18a-224\le0$%. Первое из неравенств выполнено для всех $%a$% ввиду отрицательности дискриминанта. Второе неравенство после деления на два принимает вид $%a^2+9a-112\le0$%, где корни равны $%-16$% и $%7$%. Получили условие $%a\in[-16;7]$%.

Теперь аналогичным образом рассмотрим решение для второго случая: $%x=-2a^2+18a+35\in[-30;63]$%. Здесь получается система из двух неравенств $%2a^2-18a-65\le0$% и $%2a^2-18a+28=2(a-2)(a-7)\ge0$%. Решая её, имеем $%a\in[\frac{9-\sqrt{211}}2;2]\cup[7;\frac{9+\sqrt{211}}2]$%. В пересечении с предыдущим условием получается $%a\in[\frac{9-\sqrt{211}}2;2]\cup\{7\}$%.

С формальной точки зрения, если решений у уравнения нет, то множество решений, будучи пустым, содержится в отрезке $%[-30;63]$% в качестве подмножества. Поэтому те значения $%a$%, для которых решений не имеется, надо присоединить к ответу. В итоге будет $%a\in [\frac{9-\sqrt{211}}2;7]$%.

Для второй из задач желательно открыть отдельный вопрос.