Неравенство

$%{({x^2} - 2x)^2} + x(2 - x) \geqslant 2 \Leftrightarrow {(x(2 - x))^2} + x(2 - x) - 2 \geqslant 0$%

Замена: $%x(2 - x) = t \in ( - \infty ;1] \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 \geqslant 0$%

С учетом ОДЗ: $%t \in ( - \infty ; - 2] \cup \{ 1\} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} x(2 - x) \leqslant - 2 \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} x(2 - x) = 1 \\ \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$%

Ответ: $%x \in ( - \infty ;1 - \sqrt 3 ] \cup \{ 1\} \cup [1 + \sqrt 3 ;\infty ).$%