Решить в натуральных числах систему: $$\left\{ \begin{align} & {{a}^{3}}+b=c\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ & a+{{b}^{3}}=d\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ \end{align} \right.$$

задан 13 Авг '14 12:59

10|600 символов нужно символов осталось
3

Решений в натуральных числах система не имеет кроме одного очевидного, где все числа равны единице.

Прежде всего, пусть $%d$% есть НОД$%(a,b)$%. Тогда $%a^3+b$% делится на $%a^2+b^2$%, а потому и на $%d^2$%. Отсюда следует, что $%b$% делится на $%d^2$%. Из соображений симметрии, то же верно относительно числа $%a$%. Таким образом, $%d=1$%, то есть числа взаимно просты.

Ввиду того, что $%a(a^2+b^2)=a^3+ab^2$% делится на $%a^2+b^2$%, как следствие получаем, что $%ab^2-b=b(ab-1)$% делится на $%a^2+b^2$%. Из-за взаимной простоты $%a$% и $%b$% следует, что числа $%b$% и $%a^2+b^2$% не могут иметь общих простых делителей. Поэтому можно сократить на множитель $%b$%, заключая, что $%ab-1$% делится на $%a^2+b^2$%. Такое возможно только при $%ab-1=0$%, так как $%ab-1 < ab < 2ab\le a^2+b^2$%.

Таким образом, решение всего одно: $%a=b=1$%, откуда $%c=d=1$%.

ссылка

отвечен 13 Авг '14 14:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×107

задан
13 Авг '14 12:59

показан
587 раз

обновлен
13 Авг '14 14:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru