Найдите все отрицательные значения параметра а, при которых система уравнений

\begin{cases}2 \sqrt { y^{2} -4y+4}+3|x|=17-y\\25 x^{2}-20ax= y^{2}-4 a^{2} \end{cases} имеет единственное решение. Если такое значение одно, то запишите его в ответ. Если таких значений несколько, то в ответ записать их сумму.

Помогите мне, пожалуйста, разобраться в этом задании. У меня получается, что система имеет единственное решение только при a= -3,5; и а=3,5; Следовательно в ответ я должна записать -3,5. Но мой ответ не сходится с правильным. (Правильный ответ:-13,5).

задан 14 Авг '14 11:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Решение:

$%\begin{cases}2\sqrt {{y^2} - 4y + 4} + 3\left| x \right| = 17 - y\\25{x^2} - 20ax = {y^2} - 4{a^2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2\left| {y - 2} \right| + 3\left| x \right| = 17 - y \\(5x - 2a - y)(5x - 2a + y) = 0\end{cases} \Leftrightarrow $%

$% \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} y = 5x - 2a \\ 2\left| {y - 2} \right| + 3\left| x \right| = 17 - y \\ \end{gathered} \right. \\ \left\{ \begin{gathered} y = -5x + 2a \\ 2\left| {y - 2} \right| + 3\left| x \right| = 17 - y \\ \end{gathered} \right.\end{gathered} \right.$%

Далее можно решать как графически так и аналитически. Я предпочитаю графическое решение так как оно требует значительно меньше времени и наглядно показывает суть задачи. График функции $%f(x) = 2\left| {y - 2} \right| + 3\left| x \right| - 17 + y$% представляет из себя несимметричный относительно оси $%OX$% ромб. Функцию $%g(x) = (5x - 2a - y)(5x - 2a + y)$% можно представить как фиксированный крест образованный за счет симетриченного пересечения двух прямых. Данный крест движется вдоль оси $%OX$%

Нарисовав график находим две точки с единственным решением:

alt text alt text

По графику получаем, что при $%a = - 13.5$% единственное решение $%( - 5;2)$%;

При $%a = 13.5$% единственное решение $%( 5;2)$%;

Сумма: $%Sum(a) = - 13.5 + 13.5 = 0$%

Поправка: В задаче требуется найти отрицательное решение, тогда ответ $%a = - 13.5$%

ссылка

отвечен 14 Авг '14 12:45

изменен 14 Авг '14 12:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Первое уравнение переписывается в виде $$2|y-2|+3|x|=17-y$$ На графике - это четырехугольник с вершинами $%(-5;2)$%, $%(0;7)$%, $%(5;2)$%, $%(0;-13)$%.

Второе уравнение после преобразования приводится к виду $%|y|=|5x-2a|$%. Ясно, что для единственности решения вершина этой фигуры должна лежать вне четырехугольника слева от него и проходить через его вершину $%(-5;2)$%. Это возможно только при $%a=-13,5$%.

ссылка

отвечен 14 Авг '14 11:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×259

задан
14 Авг '14 11:32

показан
877 раз

обновлен
14 Авг '14 15:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru