При каких а неравенство  $% 1 <|\frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}|< 3, $% действительно при любом $% x ?$% Заранее спасибо. 

задан 18 Авг '14 23:07

изменен 19 Авг '14 10:02

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Виктор_UL, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(19 Авг '14 20:21) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
4

$% 1 < |\frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}| < 3 \Leftrightarrow \begin{cases} |\frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}| < 3 \\ |\frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}|>1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -3<\frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5} < 3 \\ \left[ \begin{aligned} \frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}>1 \\ \frac{2x^2+ax+6}{x^2+4x+5}<-1 \end{aligned} \right.\end{cases}. $%

$%x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0\ \ \ \forall x\in R,$% следовательно получаем равносильную систему

$%\begin{cases} -3({x^2+4x+5})<{2x^2+ax+6} < 3({x^2+4x+5}) \\ \left[ \begin{aligned} {2x^2+ax+6}>{x^2+4x+5} \\ {2x^2+ax+6}<-({x^2+4x+5}) \end{aligned} \right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} {5x^2+(a+12)x+21}>0 \\ -x^2+(a-12)x-9<0\\ \left[ \begin{aligned} x^2+(a-4)x+1>0\\ {3x^2+(a+4)x+11}<0 \end{aligned} \right.\end{cases}\Leftrightarrow ...$%

Обозначим дискриминанты соответственно$% D_1=(a+12)^2-420, D_2=(a-12)^2-4, D_3=(a-4)^2-4,D_4=(a+4)^2-132.$% Чтобы первое и второе неравенства выполнялись при $%\forall x\in R,$% надо требовать $%D_1<0 $% и $%D_2<0,$% то есть $%a\in (6;2\sqrt{105}-12).$% Но при этих значениях $%D_4<0-$% четвертое неравенство вообще не выполняется, $%D_3>0-$% третье неравенство выполняется только при $% x\in (-\infty;\frac{4-a-\sqrt{D_3}}2)\cup (\frac{4-a+\sqrt{D_3}}2;\infty),$% значит совокупность не выполняется для $%\forall x\in R.$%

Ответ: Нет таких значений.

ссылка

отвечен 19 Авг '14 12:41

изменен 19 Авг '14 15:37

1

Во втором неравенстве в последнем блоке неравенств ошибка: нужно -х^2+(а-12)х-9<0

(19 Авг '14 13:05) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
4

Наверное, все-таки $%1 \leqslant \left| {\frac{{2{x^2} + ax + 6}}{{{x^2} + 4x + 5}}} \right| \leqslant 3$%, так как если неравенство строгое, то для всех $%x$% оно не выполняется ни при каких значениях параметра.

Для решения $%1 \leqslant \left| {\frac{{2{x^2} + ax + 6}}{{{x^2} + 4x + 5}}} \right| \leqslant 3$% можно использовать 3 метода:

  1. Метод, что использовала ASailyan.
  2. Метод $%1 \leqslant E(f(x)) \leqslant 3$%.
  3. Графический метод.

Приведу пример метода №2.

$%y(x) = t = \frac{{2{x^2} + ax + 6}}{{{x^2} + 4x + 5}} \Leftrightarrow {x^2}(t - 2) + x(4t - a) + 5t - 6 = 0$% Для того, чтобы уравнение имело решение, потребуем $%D \geqslant 0 \Leftrightarrow {(4t - a)^2} - 4(t - 2)(5t - 6) \geqslant 0 \Leftrightarrow t \in [ - \frac{{\sqrt {5{a^2} - 64a + 208} }}{2} - a + 8;\frac{{\sqrt {5{a^2} - 64a + 208} }}{2} - a + 8]$%.

Далее потребуем $%\begin{cases} - \frac{{\sqrt {5{a^2} - 64a + 208} }}{2} - a + 8 \geqslant 1\\\frac{{\sqrt {5{a^2} - 64a + 208} }}{2} - a + 8 \leqslant 3\end{cases}\Leftrightarrow a = 6$%.

Собственно, все, что мы тут сделали, это вычислили область значений функции в зависимости от параметра и потом задали, чтобы область значений функции лежала внутри отрезка $%1 \leqslant f(x) \leqslant 3$%.

Примечание: Раскрытие модуля со знаком минус нужно разобрать отдельно, но, как выяснится, в данном случае нет решений, поэтому я разобрал только случай со знаком плюс.

ссылка

отвечен 19 Авг '14 13:42

изменен 20 Авг '14 1:33

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Да, у меня тоже так получилось (делал, как ASailyan).

(19 Авг '14 14:26) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×220

задан
18 Авг '14 23:07

показан
915 раз

обновлен
19 Авг '14 20:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru