ряды - Может ли частичная сумма гармонического ряда быть целым числом?

При $%n=1$% это так, но ни при каких других $%n$% целое число получиться уже не может.

Доказательство такое: пусть $%n\ge2$%; выберем такое натуральное $%k$%, для которого $%2^k\le n < 2^{k+1}$%, и покажем, что $%n$%-я частичная сумма равна дроби вида $%\frac{p}{2^kq}$%, где $%p$%, $%q$% оба нечётны. Ясно, что значение этой дроби не является целым.

Доказательство проведём индукцией по $%n\ge2$%. При $%n=2$% значение частичной суммы равно $%\frac32$%, то есть $%p=3$%, $%q=1$%. Прибавим к предыдущей частичной сумме очередную дробь $%\frac1{n+1}$%. Рассмотрим два случая.

1) $%n+1 < 2^{k+1}$%. В этом случае $%n+1$% не делится на $%2^k$%, так как оно строго больше $%2^k$% и строго меньше $%2\cdot2^k$%. Поэтому можно представить это число в виде $%n+1=2^ls$%, где $%0\le l < k$%, и $%s$% нечётно. В итоге, $%(n+1)$%-я частичная сумма гармонического ряда станет равна $$\frac{p}{2^kq}+\frac1{2^ls}=\frac{ps+2^{k-l}q}{2^kqs},$$ где числитель нечётен, то есть дробь имеет требуемый вид. Значение параметра $%k$% для числа $%n+1$% такое же, как и для числа $%n$%.

2) $%n+1=2^{k+1}$%. Здесь значение параметра $%k$% увеличивается на единицу. Частичная сумма в этом случае получается равна $$\frac{p}{2^kq}+\frac1{2^{k+1}}=\frac{2p+q}{2^{k+1}q},$$ то есть дробь снова имеет требуемый вид (числитель нечётен, а в знаменателе выделена максимальная степень двойки). Это завершает доказательство.