интегралы - Неравенство с интегралом

Применим замену $%z=t^2$%; тогда $%dt=d(\sqrt{z})=\frac{dz}{2\sqrt{z}}$%, и получится интеграл, у которого синус можно занести под знак дифференциала, интегрируя далее по частям: $$\int\limits_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{\sin z}{2\sqrt{z}}dz=-\int\limits_{x^2}^{(x+1)^2}\frac{d(\cos z)}{2\sqrt{z}}.$$ Как обычно, возникает два слагаемых, первое из которых равно разности значений функции $%\frac{\cos z}{2\sqrt{z}}$% в точках $%z=x^2$% и $%z=(x+1)^2$%. Опираясь на то, что значения косинуса принадлежат отрезку от $%-1$% до $%1$%, мы оцениваем сверху модуль первого слагаемого величиной $%\frac1{2x}+\frac1{2(x+1)}$%.

Второе слагаемое имеет вид $%\int\limits_{x^2}^{(x+1)^2}\cos z\cdot d\left(\frac1{2\sqrt{z}}\right)$%, и его модуль не превосходит интеграла от модуля. Здесь мы пользуемся тем, что $%|\cos z|\le1$%, а функция под знаком дифференциала убывает, поэтому рассматриваем её со знаком минус, и тогда в качестве верхней оценки модуля второго слагаемого получится разность значений функции $%\frac1{2\sqrt{z}}$% в точках $%z=x^2$% и $%z=(x+1)^2$% (пределы интегрирования поменялись местами за счёт минуса). То есть модуль второго слагаемого не превосходит $%\frac1{2x}-\frac1{2(x+1)}$%, а модуль исходного интеграла не превосходит $%(\frac1{2x}+\frac1{2(x+1)})+(\frac1{2x}-\frac1{2(x+1)})=\frac1{x}$%.

Нестрогое неравенство здесь легко усилить до строгого, заметив, что при второй оценке существует отрезок, на котором $%|\cos z|\le1-\varepsilon$% в пределах области интегрирования, где $%\varepsilon > 0$%.