|
Пусть F=F(a1,a2,...,an) – свободная группа на алфавите a1,a2,...,an. Тогда для любой группы G и любого отображения X множества {a1,a2,...,an} в группу G существует гомоморфизм D:F=>G группы F в группу G такой, что aiD=aiX для каждого i=1,2,...,n. задан 24 Авг '14 17:36 
hali |
|
Это почти сразу следует из определений. Надо для любого группового слова (то есть произведения букв вида $%a_i^{\pm1}$%) продолжить отображение естественным образом, а именно, положить $%(a_{i_1}^{\pm1}\ldots a_{i_k}^{\pm1})D=(a_{i_1})X^{\pm1}\ldots (a_{i_k})X^{\pm1}$% с тем же набором знаков в показателях. Только при таком условии можно получить гомоморфное отображение. Остаётся заметить, что если два слова отличаются вставкой или вычёркиванием подслов вида $%a_i^{\pm1}a_i^{\mp1}$%, то их образы относительно $%D$% будут одинаковыми, что следует из тождества $%xx^{-1}=1$%, справедливого в любой группе. Значит, на классах эквивалентности слов отображение $%D$% принимает одинаковые значения, являясь при этом гомоморфизмом свободной группы в $%G$%. Такой гомоморфизм существует и единственен. отвечен 24 Авг '14 23:20 
falcao |