Внутри треугольника АВС существует т. О такая, что угол ВОС - прямой и углы ВАО и ВСО - равны. Точки М и N - средины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что угол ОМN = 90.

задан 25 Авг '14 8:50

изменен 25 Авг '14 17:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Опишем окружности около треугольников $%BOC$% и $%BOA$%. Ввиду равенства указанных в задаче углов, эти окружности симметричны относительно прямой $%BO$%. Рассмотрим гомотетию с центром $%C$% и коэффициентом 1/2. Окружность, описанная около $%BOA$%, проходит через точку $%C'$%, симметричную $%C$% относительно оси симметрии. При рассматриваемой гомотетии $%C'$% перейдёт в $%O$%. Соответственно, точки $%A$% и $%B$% перейдут в $%M$% и $%N$%, то есть образ окружности при гомотетии пройдёт через $%O$%, $%M$% и $%N$%. Помимо этого, он пройдёт и через точку $%O'$% -- середину отрезка $%CO$%. Угол $%OO'N$% является прямым, так как $%NO'$% -- средняя линия треугольника $%CBO$%. Таким образом, наша окружность (образ при гомотетии) построена на $%ON$% как на диаметре, откуда следует, что $%OMN$% прямой.

ссылка

отвечен 25 Авг '14 10:11

falcao, не могли бы Вы объяснить, почему окружность пройдёт через O′, так как у меня она проходит через т. С?

(25 Авг '14 12:24) vovax700

@vovax700: основная окружность, которую я здесь рассматриваю, получается так: сначала берётся окружность, описанная около BOA, а потом рассматривается её сжатие в 2 раза (гомотетия) относительно точки C. Поскольку окружность изначально проходила через O, то после сжатия получится окружность, проходящая через середину отрезка CO, а это и есть O'.

(25 Авг '14 12:42) falcao

@falcao, понятно, спасибо.

(25 Авг '14 12:57) vovax700
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,000
×147

задан
25 Авг '14 8:50

показан
855 раз

обновлен
25 Авг '14 12:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru