|
Внутри треугольника АВС существует т. О такая, что угол ВОС - прямой и углы ВАО и ВСО - равны. Точки М и N - средины сторон АС и ВС соответственно. Докажите, что угол ОМN = 90. задан 25 Авг '14 8:50 
vovax700 |
|
Опишем окружности около треугольников $%BOC$% и $%BOA$%. Ввиду равенства указанных в задаче углов, эти окружности симметричны относительно прямой $%BO$%. Рассмотрим гомотетию с центром $%C$% и коэффициентом 1/2. Окружность, описанная около $%BOA$%, проходит через точку $%C'$%, симметричную $%C$% относительно оси симметрии. При рассматриваемой гомотетии $%C'$% перейдёт в $%O$%. Соответственно, точки $%A$% и $%B$% перейдут в $%M$% и $%N$%, то есть образ окружности при гомотетии пройдёт через $%O$%, $%M$% и $%N$%. Помимо этого, он пройдёт и через точку $%O'$% -- середину отрезка $%CO$%. Угол $%OO'N$% является прямым, так как $%NO'$% -- средняя линия треугольника $%CBO$%. Таким образом, наша окружность (образ при гомотетии) построена на $%ON$% как на диаметре, откуда следует, что $%OMN$% прямой. отвечен 25 Авг '14 10:11 
falcao falcao, не могли бы Вы объяснить, почему окружность пройдёт через O′, так как у меня она проходит через т. С?
(25 Авг '14 12:24)
vovax700
@vovax700: основная окружность, которую я здесь рассматриваю, получается так: сначала берётся окружность, описанная около BOA, а потом рассматривается её сжатие в 2 раза (гомотетия) относительно точки C. Поскольку окружность изначально проходила через O, то после сжатия получится окружность, проходящая через середину отрезка CO, а это и есть O'.
(25 Авг '14 12:42)
falcao
|