алгебра - Арифметика

a) Может. Разобьём числа на пары и рассмотрим разности между большим и меньшим из них. Получится $%2^2-1^2=3$%, $%4^2-3^2=7$%, ... , $%12^2-11^2=23$%. Это арифметическая прогрессия с разностью 4. В неё входят 6 чисел, их снова разбиваем на пары и берём разности, после чего получаются три числа, равных 4. Если мы возьмём одно из них со знаком плюс, и два со знаком минус, то в сумме будет -4. Таким образом, $%-4=4-4-4=(7-3)-(15-11)-(23-19)=-3+7+11-15+19-23$%. Теперь надо эти нечётные слагаемые записать в виде разностей квадратов соседних чисел, и окончательно будем иметь $%-4=1^2-2^2-3^2+4^2-5^2+6^2+7^2-8^2-9^2+10^2+11^2-12^2$%.

б) Не может. Среди 49 чисел имеется 24 чётных и 25 нечётных. От смены знака чётность числа не меняется, и в сумме всегда будет нечётное число, то есть 0 не возникнет.

в) Может. Здесь надо рассмотреть произвольные 8 последовательных чисел, возведённых в квадрат, беря такие знаки: $%n^2-(n+1)^2-(n+2)^2+(n+3)^2-(n+4)^2+(n+5)^2+(n+6)^2-(n+7)^2$%. Непосредственное раскрытие скобок показывает, что сумма нулевая. Чтобы проверка была проще, можно рассмотреть 4 числа со знаками +, -, -, +, убеждаясь, что в сумме будет всегда 4. Поэтому, если у следующей четвёрки знаки сменить, то в сумме будет 0.

Поскольку количество чисел делится на 8, разбиваем их на последовательные восьмёрки, получая нулевую сумму.

г) Может. Первые два числа берём в виде $%1^2-2^2=-3$%, и остаются квадраты 88 последовательных чисел. Из них мы умеем получать ноль по предыдущему пункту, так как их количество кратно восьми.